初一数学竞赛系列讲座(10)

　应用题（二）

一、知识要点

1、工程类问题

　 工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率´工作时间=工作总量

　 解工程问题时常将工作总量当作整体“1”

2、溶液类问题

　 溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。

　 溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。

　 溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。

　 溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是：

二、例题精讲

例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机　　　 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题)

解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米，由条件可得：

　解得

如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：

　　　

评注：本题设了三个未知数a、b、c，但只列出两个方程。实质上c是个辅助未知数，在解方程时把c视为常数，解出a，b(用c表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。

例2 甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)

解：设乙、丙二队合作了x天，丙队与甲队合作了y天。将工程A视为1，则工程B可视为1+25%=5/4，由题意得：

，由此可解得x=15

答：乙、丙二队合作了15天

评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。

例3 牧场上的草长得一样地密，一样地快。70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天。如果要吃96天，问牛数该是多少？

解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，所以每头牛每天吃

去分母得: 30(1+24x)=28(1+60x)　∴960x=2

∴x=(头)

96天吃完，牛应当是

例4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过了200只。后来改进技术，每人一天又多做27个零件。这样他们4个人一天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件。问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？

解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件，由题意得

　 解得　 15<x<17

因为 x是整数，所以x=16，而(16+37)¸163.3

故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的3.3倍。

评注：本题所列的是不等式组，不能列成方程。

例5 某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒350克，问应加纯酒精多少克？

分析：配比前后碘的含量相同。

解：设稀释时需加纯酒精x克，则稀释后有碘酒(350+x)克，由题意得：

　　　  (350+x)×2%=350´15%

解之得  x=2275

答：应加纯酒精2275克。

评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶剂量不变。所列方程的一般形式是各分量=总量。

例6在浓度为x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x

解：设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，则由题意得

由(2)得 8 (a+b)=7 (a+2b)　 即a=6b代入(1)得  6bx=140b　 ∴

答：x为

例7 从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？

解：设重量为7千克的合金的含铜百分数为x，重量为3千克的合金的含铜百分数为y，

切下的合金的重量是z千克，由题意得：

∴(21-10z) x=(21-10z) y　　∴(21-10z) (x-y)=0

∵x≠y　 ∴21-10z=0  ∴z=2.1

答：所切下的合金的重量是2.1千克.

例8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水。求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数。

分析：题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示。

解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为x%、y%、z%

第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出a克盐水，则有

a× x%+ a× y%+ a× z%=3a´10%

从甲和乙中按重量之比为2：3来取盐水时，设从甲中取盐水2m克，从乙中取盐水3m克，则有　　　2m × x%+ 3m × y%=(2m +3m)´7%

从乙和丙中按重量之比为3：2来取盐水时，设从乙中取盐水3n克，从丙中取盐水2n克，则有　　 3n × y%+ 2n × z%=(3n+2n)´9%

将上面三式消去辅助未知数得：

答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为10%、5%、15%

评注：本题中我们假设的未知数a、m、n不是题目所要求的，而是为了便于列方程而设的，这种设元方法叫做辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去。

例9　组装甲、乙、丙3种产品，需用A、B、C3种零件。每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A和1个C。用库存的A、B、C3种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品、r件丙产品，则剩下2个A和1个B，C恰好用完。求证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完。（1981年全国高中数学竞赛题）

解：由已知，库存的A、B、C3种零件的个数分别为：

A种2p+2r+2件，B种2p+q+1件，C种q+r件。

假设生产甲x件，乙y件，丙z件恰好将3种零件都用完，则由题意得：

(1)+(3)-(2)得：3z=3r+1  它的左边是3的倍数，而右边却是3的倍数加1，矛盾，不成立，所以不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完。

评注：本题列出方程组后，没有解出x、y、z，而导出矛盾，而是巧妙地通过方程的加减得出矛盾式3z=3r+1，从而得出结论。所以有些数学问题应从整体上来把握解法。

三、巩固练习

选择题

1、有酒精a升和水b升，将它们混合后取出x升，这x升混合液中含水(　　 ) 升

A、　　  B、　　 C、　　D、

2、一件工作，甲、乙、丙合作需7天半完成；甲、丙、戊合作需5天完成；甲、丙、丁合作需6天完成；乙、丁、戊合作需4天完成，那么这5人合作，(　　　)天可以完成这件工作。

A、3天　　　B、4天　　C、5天　　　D、7天

3、某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（　）

A、20％　　　B、25％　　C、80％　　　D、75％

4、两个相同的瓶子中装满了酒精溶液，第一个瓶子里的酒精与水的体积之比为a:1，第一个瓶子为b:1，现将两瓶溶液全部混和在一起，则混和溶液中酒精与水的体积之比是(　　) (安徽省初中数学联赛试题)

A、　　 B、　　 C、　　  D、

5、某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务，现有U，V，W的时间分别为10秒，2分和15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任务相对等候时间之和最小的执行是（　）。

（A）U，V，W．　　　　  （B）V，W，U

（C）W，U，V．　　　　  （D）U，W，V

6、咖啡A与咖啡B按x:y(以重量计)的比例混合。A的原价为每千克50元，B的原价为每千克40元，如果A的价格增加10%，B的价格减少15%，那么混合咖啡的价格保持不变。则x:y为(　　  )

A、5：6  　　B、6：5　　C、5：4　　　D、4：5

填空题

7、因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人。则各组原有人数为　　　　 

8、A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干，8天可完工；若B、C、D、E四人一起干，6天可完工；若A、E二人干，12天可完工，则A一个人单独干　　　　 天可完工。　　

9、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排　　　人加工甲种部件，　　　人加工乙种部件，　　　人加工丙种部件。

10、容积为V的容器盛酒精溶液，第一次倒出后，用水加满。第二次倒出后，再用水加满，这时它的浓度为20%，则原来酒精溶液的浓度为　　　　　 

11、若干克含盐4%的盐水蒸去一些水分后变成了含盐为10%的盐水，再加进300

克含盐4%的盐水，混合后变成了含盐6.4%的盐水，则最初有4%的盐水　　　克

12、一种灭虫药粉40千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同样的灭虫药粉50千克和它混合，使混合后的含药率在25%与30%之间(不包括25%和30%)，则所用药粉含药率的范围是　　　　　　 

解答题

13、甲、乙两部抽水机共同灌溉一块稻田，5小时可以完成任务的。已知甲抽水机3小时的抽水量等于乙抽水机5小时的抽水量，甲、乙抽水机单独灌溉这块稻田各需几小时？

14、有一水库，在单位时间内有一定量的水流进，同时也向外放水，按现在的进出水量，水库中的水可使用40天，因最近在水源的地方降雨，流入水库的水量增加20%，如果放水量增加10%，则仍可使用40天，如果按原来的放水量放水，可使用多少天？

15、某作业组要在规定的时间内恰好完成一项工程，如果减少两名工人，则需增加4天恰好完成，如果增加3人，则可提前2天完成，且略显轻松，又如果增加4人，则可提前3天完成，且略显轻松。问这个作业组原有多少人，规定完成工作时间是多少天？

16、现有男、女工人共22人，其中全体男工和全体女工在相同的时间内可完成同样的工作；若将男工人数与女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，全体女工要36天才能完成，问男、女工人各多少人。

17、甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有v₁千克,乙有v₂千克。甲中纯酒精与水(重量)之比为m ₁:n ₁，乙中纯酒精与水之比为m ₂:n ₂，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？(1979年高考理科试题)

18、已知：青铜含有80%的铜、4%锌和16%锡，而黄铜是铜和锌的合金。今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有74%的铜、16%锌和10%锡。求黄铜含有铜和锌之比。

19、今有浓度分别为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种食盐水60千克、60千克、47千克。现要配制浓度为7%的食盐水100千克，问(1)甲种食盐水最多可用多少千克？(2) 甲种食盐水最少用多少千克？

20、有三块合金，第一块是60%的铝和40%的铬，第二块是10%的铬和90%的钛，第三块是20%的铝、50%的铬和30%的钛，现将它们铸成一块含钛45%的新的合金，问在新的合金中，铬的百分比为多少？