数学

八年级数学第二讲

主讲教师：许桂云

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内容提要：

本章教材分析

注意的几个问题

例题

巩固练习

答案

本讲正文　

第十一章 二次根式

第一讲 二次根式的概念及性质

一、本章教材分析：

1、本章主要内容是二次根式的性质与运算，本章自始至终围绕着二次根式的化简与运算问题，由浅入深地讲解二次根式的有关概念及性质，从而帮助同学更好地掌握二次根式的化简与运算方法。二次根式的概念及性质是直接建立在第十章“数的开方”基础之上的，而这一章的重点——二次根式的运算，既与二次根式的概念、性质有关，又紧密联系着初一学过的整式，分式的基本运算。本章的内容一方面配合了几何课中勾股定理及其应用的学习，又直接为下一章一元二次方程的学习打下了必要基础。

2、重点、难点关键：

重点：二次根式的化简与运算

难点：正确理解与运用分式：

关键：正确认识与运用二次根式的概念及性质。

二、注意的几个问题

<一>根式的概念

1、二次根式的非负性。即

2、公式，要准确掌握和灵活运用（包括正用，反用）

3、与的区别及联系，当时，=，且均为非负数区别：①意义不同  ②读法不同 ③运算顺序不同  ④取值范围不同 ⑤ 结果不同  ⑥作用不同 公式=a的作用i)正用可以化简二次根式，ii)逆用可以将一个非负数写成一个数的平方的形式，公式=a的作用i）正用可将根号内的因式开方后移到根号外，ii) 逆用可将根号外的非负因式平方后移到根号内。

4、为减少学习困难，本章无特别说明，所有字母都表示正数。

5、公式中的条件①　 ②

　　　　　　　 ③

6、判断同类二次根式的前提条件：先把二次根式化为最简二次根式

7、一个二次根式的有理化因式可能不唯一

<二>二次根式中的隐含条件

三、例题：

例1、下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

解：由二次根式定义，是二次根式；不是二次根式

例2、若a、b满足，则S=的取值范围是

解：∵ ①  =S　②

①×3+②×5，得

①×2－②×3，得

由21+5S0 得 　14－3S0得

　 ∴

注意：本题应用了二次根式及绝对值的非负性质

例3、比较与的大小

解：

∵2 ∴

注意：本题应用了性质

例4、已知：实数a满足1992－a+，那么a－1992²的值是（　  ）

A、1991　B、1992　C、1993　D、1994

分析：由二次根式的意义，可知，即 ∴

∴1992－a=a－1992　又1992－a+

∴，

两边平方， 因此 故选C

例5、对实数x，求的最大值

 解：由二次根式意义 解之

　要使 y最大，必分母最小，而8－x最大，由于 故当x=6时，y最大值为

四、巩固练习：

 1、设，试求使y值恒等于常数的x的取值范围　　　　　 

2、已知，且，满足上式的整数对（x、y）的个数是

　3、用二次根式性质化简

　4、已知： 求的值

　5、设等式在实数范围的成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值

　6、求的最小值

答  案

1、－　2、3对（41，1476）（164，1025），（369，656）

3、提示：　

4、当时，原式 当时，原式=

5、

6、4

校对人：潘娜

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