第一章 直角三角形的边角关系
1.1~1.2 从梯子的倾斜程度谈起、30°,45°,60°角的三角函数值(A卷)
(50分钟,共100分)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 发展性评语：_____________
一、请准确填空(每小题3分,共24分)
1.图1表示甲、乙两山坡情况,其中tanα_____tanβ,_____坡更陡.(前一空填“>”“<”或“=”,后一空填“甲”“乙”)
图1
2.在△ABC中,∠C=90°，BC=3，AB=4.则∠B的正弦值是_____.
3.小明要在坡度为
的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.
4.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sinA=_____，tanA=_____.
5.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，则sinB=_____.
6.观察一副三角尺，把两个角拼在一起，其和仍为锐角，此和是_____度.
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，则cosB=_____.
8.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2
米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA=
，则sinB等于
A.
B.
C.
D.1
10.在△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有
A.sinA=
B.cosB=
C.tanA=
D.cosB=
11.如图2，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是
图2
A.
(m2) B.
(m2)
C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC∶AC∶AB等于
A.1∶2∶5 B.1∶∶
C.1∶∶2 D.1∶2∶
13.小刚在距某电信塔10 m的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是 60°，则塔高
A.10 m
B.5 m
C.10
m
D.20 m
14.李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是
A.40° B.30° C.20° D.10°
15.在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是
A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形
C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形
16.把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是
A.甲 B.乙 C.丙 D.都不正确
三、考查你的基本功(共35分)
17.(16分)计算或化简：
(1)cos30°+sin45°;
(2)
·tan 30°;
(3)(sin60°+cos 45°)(sin 60°－cos 45°);
(4)6tan2 30°－sin 60°－2sin 45°;
18.(8分)根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.
(1)BC=8，∠B=60°.
(2)∠B=45°，AC=
.
19.(5分)在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，AC=6，CD=5，求sinACD、cosACD和tanACD.
20.(6分)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设 ∠CAD=α.
(1)求sinα、cosα、tanα的值;
(2)若∠B=∠CAD，求BD的长.
四、生活中的数学(共11分)
21.(5分)一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图4)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(取1.73)
图3 图4 图5
22.(6分)如图5，河岸护堤AD、BC互相平行，要测量河两岸相对两树A、B的距离，小赵从B点沿垂直AB的BC方向前进，他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板.
(1)请你帮小赵设计一下测量AB长的具体方案;
(2)给出具体的数值，求出AB的长.
五、探究拓展与应用(共6分)
23.(6分)要求tan30°的值，可构造如图6所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，∠ABC=30°，tan30°= 
=
=
.在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值.请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15°的值.
图6
参考答案
一、1.< 乙 2.
3.3 4. 1 5. 6.75 7. 8. 60°
二、9.B 10.C 11.A 12.C 13.A 14.D 15.B
16.B
三、17.(1)
(2)
(3)
(4)－
18.(1)∠A=30° AB=16 AC=8.
(2)∠A=45° BC= AB=2.
19.解：∵∠BCA=90°，CD是中线,
∴CD=AB=AD=BD.
∴∠A=∠ACD,AB=2CD=10.
∴BC=
=8.
则sinACD=sinA=
=
,
cosACD=cosA=
=,
tanACD=tanA=
=
.
20.解：在Rt△ACD中,
∵AC=2，DC=1,
∴AD=
=.
(1)sinα=
=
=
,
cosα=
=
=
,
tanα=
=.
(2)∵∠B=α，∠C=90°,
∴△ABC∽△DAC.
∴=
.∴BC=
=4.
则BD=BC－CD=4－1=3.
四、21.解：由题意知∠BAC=60°，∠C=90°,
AC=20×(11－10)=20(海里).
∴tanBAC=
,即tan60°=
.
∴BC=20tan60°=20≈34.6(海里).
22.(1)方案：至某点C时，三角板60°角一直角边与BC重合，另一边与AC重合，然后用米尺量出BC的长度，此法就可求出AB的长.
(2)设BC=10米，∠C=60°,
则在Rt△ABC中，tanC=
,
∴AB=BC·tan60°=10×=10(米).
五、23.此处只给出两种方法(还有其他方法).
(1)如下图.
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D=15°.
tan15°=
=
=2－，
(2)如下图，延长CA到E，使CE=CB，
连接BE，则∠ABE=15°.
∴tan15°=2－.