2002年全国初中数学竞赛试题

（2002年4月7日上午　　 9：30——11：30）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、设a＜b＜0，a²＋b²＝4ab，则的值为（　　 ）

A、　　  B、　　 C、2　　　D、3

2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，

则多项式a²＋b²＋c²－ab－bc－ca的值为(　 )

A、0　　　　 B、1　　　 C、2　　  D、3

3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，

则等于(　　)

A、　 B、　　 C、　　 D、

4、设a、b、c为实数，x＝a²－2b＋，y＝b²－2c＋，z＝c²－2a＋，

则x、y、z中至少有一个值(　 )

A、大于0　　 B、等于0　　C、不大于0　　D、小于0

5、设关于x的方程ax²＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x₁、x₂，

且x₁＜1＜x₂，那么a的取值范围是(　　　 )

A、＜a＜　 B、a＞　　C、a＜　 D、＜a＜0

6、A₁A₂A₃…A₉是一个正九边形，A₁A₂＝a，A₁A₃＝b，则A₁A₅等于(　 )

A、　 B、　C、　　D、a＋b

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²＋ax＋a＝2的两个实数根，

则(x₁－2x₂)(x­₂－2x₁)的最大值为　　　　。

8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，

a＜b，则的值为　　　　　　  。

9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60⁰，点P是△ABC内的一点，

使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝　　　　。

10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作

⊙O₁、⊙O₂，并在⊙O与⊙O₁和⊙O₂的空隙间作两个等圆⊙O₃和⊙O₄，

这些圆互相内切或外切，则四边形O₁O₂O₃O₄的面积为　　　　 cm²。

11、满足(n²－n－1)^n＋2＝1的整数n有　　　　　　 个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为　　　　　　　　  。

三、解答题（每小题20分，共60分）

13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。

(1)求证：（2）求证：

15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：（1）2a、2b、c都是整数；

（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax²＋bx＋c的值都是平方数？