26.1二次函数(A卷)

(100分　60分钟)

一、选择题:(每题4分,共28分)

1.若函数是二次函数,那么m的值是(　 )

　A.2　　　　 B.-1或3　　　　　  C.3　　　　 D.

2.满足函数y=x²-4x-4的一个点是(　 )

　A.(4,4)　　　B.(3,-1);　　　　 C.(-2,-8)　　D.

3.无论m为何实数,二次函数y=x²-(2-m)x+m的图象总是过定点(　 )

  A.(1,3)　　　  B.(1,0);　　　　 C.(-1,3)　　　 D.(-1,0)

4.在函数y=中,自变量x的取值范围是(　 )

  A.x≠1　　　　　 B.x>0;　　　　　  C.x>0且x≠1　　　D.x≥0且x≠1

5.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有(　 )

  A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

6.在函数y=中,自变量x的取值范围是(　 )

  A.x>-2且x≠-3;　 B.x>-2且x≠3;　C.x≥-2且x≠±3;　 D.x≥-2且x≠3

7.下列函数中,是二次函数的是(　 )

  A.y=8x²+1　　　 B.y=8x+1;　　　　 C.y=　　　　　  D.y=

二、填空题:(每题5分,共45分)

 

　　　  (1)　　　　　　　  (2)　　　　　　　　　　　 (3)

8.形如_______________的函数叫做二次函数.

9.如图1所示,某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏,该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏. 设每间羊圈的长为xm.(1)请你用含x的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______,三间羊圈的总面积S=____________;

  (2)S可以看成x的_________,这里自变量x的取值范围是_________;

(3)请计算,当羊圈的长分别为2m、3m、4m和5m时,羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______,在这些数中,x取_____m时,面积S最大.

10.如图2所示,长方体的底面是边长为xcm的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x的二次函数.

11.根据如图3所示的程序计算函数值.

　　(1)当输入的x的值为时,输出的结果为________;

　　(2)当输入的数为________时,输出的值为-4.

12.如图4所示,要用总长为20m的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃, 若设AB的长为xm,则矩形的面积y=_______________.

13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这

种商品的售价降低x元时, 则销售利润y=_________.

14.函数y= 中,自变量x的取值范围是___________.

15.y=(m²-2m-3)x²+(m-1)x+m²是关于x的二次函数要满足的条件是_______.

16.如图5所示,有一根长60cm的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm²)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________.

三、解答题:(27分)

17.(12分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x²+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.

　　(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?

　  (2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.

18.(15分)已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm².

　　(1)求S与C之间的函数关系式;(2)当S=1cm²时,求正方形的边长;

(3)当C取什么值时,S≥4cm²?

26.1 二次函数(B卷)

(100分　90分钟)

一、学科内综合题:(每题6分,共18分)

1.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.

2.如图所示,在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=2,P是AC上与A、C不重合的一个动点,过P、B、C的⊙O交AB于D.设PA=x,PC²+PD²=y,求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围.

3.如图所示,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线L上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/ 秒的速度沿直线L按箭头所示的方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm².解答下列问题:

　　(1)当t=3时,求S的值;(2)当t=5时,求S的值;

(3)当5≤t≤8时,求S与t之间的函数关系式.

二、学科间综合题:(7分)

4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x²+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x²-0.02x+120.

　　(1)利用公式计算你的收缩压;

　  (2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)

　　(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?

三、应用题:(每题9分,共36分)

5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.

6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.

7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.

8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.

　　　(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;

(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S.

四、创新题:(每题10分,共20分)

　　(一)教材中的变型题

9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax²+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y与x之间的函数关系式.

　　(二)多变题

10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB上取一点P,设P到DE的距离PM=x,P到CD的距离PN=y,试写出矩形PMDN的面积S与x之间的函数关系式.

五、中考题:(19分)

11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.

　 　 (1)求出S与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.

　 　 (2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)

12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式:

　 (1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?

　 (2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?

　 (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?

26.1 二次函数(C卷)

(30分　45分钟)

一、实践题:(10分)

1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x元,销售量为y万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z万元.

　　(1)试写出y与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)

　　(2)试写出z与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)

　  (3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?

二、竞赛题:(每题10分,共20分)

2.已知:如图所示,BD为⊙O的直径,且BD=8,是圆周的,A为上任意一点, 取AC=AB,交BD的延长线于C,连结OA,并作AE⊥BD于E,设AB=x,CD=y.

　　(1)写出y关于x的函数关系式;

  　(2)当x为何值时,CA是⊙O的切线?

(3)当CA与⊙O相切时,求tan∠OAE的值.

3.如图所示,△ABC中,BC=4,∠B=45°,AB=3,M、N分别是AB、AC上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC的面积为S.

　　(1)求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

　  (2)是否存在平行于BC的线段MN,使△MNC的面积等于2?若存在,请求出MN的长; 若不存在,请说明理由.

二次函数A卷答案:

一、1.C  2.D　3.C　4.D  5.C　6.D　7.A

二、8.y=ax²+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)

　　9.(1)-4x+24;-4x²+24x

　　　(2)二次函数;0<x<6

　　　(3)32m²;36m²;32m²;20m²;3

　　10.24x;6x²;8x+24;V=6x²

　　11.(1)　(2)6或-6

　　12.y=-2x²+20x(0<x<10)

　　13.y=-100x²+100x+200(0≤x≤2)

　　14.x>3且x≠5

　　15.m≠-1且m≠3

　　16.S=-x²+30x(0<x<30)

三、17.解:(1)当x=10时,y=-0.1x²+2.6x+43=-0.1×10²+2.6×10+43=59.

(2)当x=8时,y=0.1x²+2.6x+43=-0.1×8²+2.6×8+43=57.4,

∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;

当x=15时,y=-0.1x²+2.6x+43=-0.1×15²+2.6×15+43=59.5.

　　∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.

　　18.解:(1)S=

(2)当S=1时,由 ,得1= ,

∴C=4或C=-4(舍去).

∴C=4,∴正方形边长为1cm.

　　(3)∵S=,∴欲使S≥4,需≥4,∴C²≥64.

　　　∴C≥8或C≤-8(舍去),

∴C≥8.B卷答案:

一、

1.解:S=S_梯形ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BCF

　　=×(3+6)×4-x(4-x)- x(6-x)-×4x

=x²-7x+18

∵

∴0<x<3,

故S=x²-7x+18(0<x<3).

2.解:

　　∵AB=4,AC=6,BC=2

　　∴AB²=(4)² =48,AC²=6²=36,BC²=(2)²=12.

　　∴AB²=AC²+BC².

∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.

连结PB,则PB为⊙O的直径.

∴PD⊥AB.

∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,

∴PD=x,

∴y=PC²+PD²=(6-x)²+=-12x+36(0<x<6).

3.解:

(1)作PE⊥QR于E,

∵PQ=PR,∴QE=RE=QR=×8=4,PE==3,

当t=3时,QC=3,

设PQ 与DC相交于点G.

　　∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴,

　　∵S_△QEP=×4×3=6,∴S=(cm²)

(2)当t=5时,CR=3.

设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S_△RCG=,

∴S=S_△PBR-S_△RCG=12-=(cm²)

(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t.

设PQ交AB于点H,由△QBH ∽△QEP,得S_△QBH=.

设PR交CD于G,由△PCG∽△REP,得S_△RCG=(8-t)².

　　∴S=12--=

　　即关系式为S=.

二、

4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.

　　(2)把p=120代入p=0.01x²+0.05x+107,得

120=0.01x²+0.05x+107.解得x₁≈-39(舍去),x₂=34.

故该女性的年龄大约为34岁.

　　(3)把p=130代入p=0.006x²-0.02x+120,得

　　130=0.006x²-0.02x+120.

　　解得x₁≈-39(舍去),x₂=43.

　　故该男性的年龄大约为43岁.

三、

5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t,

　　∴S=PB·BQ=PB·(BE+EQ)

　　　 = (6-t)(6+t)=-t²+18.

　　∴S=-t²+18(0≤t≤6).

6.解:若销售单价为x元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得

　　y=(x-30)[60+2(70-x)]-500

　　 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70).

　　即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).

7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).

　　又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),

　　即y=-3x²+252x-4860.

∵x-30≥0,∴x≥30.

又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54.

∴30≤x≤54.

∴所求关系式为y=-3x²+252x-4860(30≤x≤54).

8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,

代入y=kx+b中,得

　　解得k=-1,b=1000

　　∴y=-x+1000(500≤x≤800)

　  (2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,

代入毛利润公式,得

　  S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)

　　 =-x²+1500x-500000.

　　∴S=-x²+1500x-500000(500≤x≤800)

四、(一)

9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax²+(xm+c),

得

　 解得a=2,km+c=-3,　∴y=2x²-3.

(二)10.解:如答图,S_矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.

延长NP交EF于G,显然PG∥BF.

故,即,∴y=-x+5,

∴S=xy=-x²+5x,即S=-x²+5x(2≤x≤4).

五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为米,即(6-x)米,

∴S=x(6-x)=-x²+6x,即S=-x²+6x,其中0<x<6.

(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,

则由题意,得,解得

即当把矩形的长设计为米时,矩形将成为黄金矩形,

此时S=xy=()()=;

可获得的设计费为 ×1000≈8498(元).

12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.

　　∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.

　  　(2)当0<t≤10时,y=-t²+24t+100=-(t-12)²+244,

该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y随x的增大而增大,

所以,当t=10时,y有最大值240.

当10<t≤20时,y=240.

当20<t≤40时,y=-7t+380,y随x的增大而减小,

故此时y<240.

所以,当t=20时,y 有最大值240.

　　所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.

　  　(3)当0<t≤10,令y=-t²+24t+100=180,

∴t=4.

当20<t≤40时,令=-7t+380=180,

∴t=28.57.

　　　所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

二次函数C卷答案:

一、1.解:(1)y=20-×1=-0.1x+30.

　　(2)z=y·x-40y-500-1500

　　　  =(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000

　　　  =30x-0.1x²-1200+4x-2000

　　　  =-0.1x²+34x-3200.

(3)当x=160时,z=-0.1x²+34x-3200=-0.1×160²+34×160-3200=-320.

把z=- 320代入z=-0.1x²+34x-3200,

得-320=-0.1x²+34x-3200,x²-340x+28800=0,

∴(x-160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.

当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1×160+30=14(万件);

当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1×180+30=12(万件).

二、

2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB和△ABC是等腰三角形.

∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC.

∴, 即 ,

∴y=

∵A为上任意一点,BM≤AB≤BD,

而BM=, BD=8,

∴≤x≤8.

　　∴y= (≤x≤8).

(2)若OA⊥CA,则AC为⊙O的切线,即当OC²=OA²+AC²时,OA⊥CA,

∴(4+y)²=4²+ x²,即y²+8y=x².

由y=x²-8和y²+8y=x²两式可得y=4,

∴x=4,即当x=4时,CA是⊙O的切线.

(3)由(2)得x=4,CA是⊙O的切线,

此时y=4,

而OE=BE-OB=(8+4)-4=2,AE=,

∴tan∠OAE=.

3.解:

　　(1)过点A作AD⊥BC于D,则有AD=3×sin45⁰=.

　　设△MNC的MN边上的高为h,

　　∵MN∥BC,∴.

　　∴h=,

　　∴S=MN·h=,

　　即S=　(0<x<4).

(2)若存在这样的线段MN,使S_△MNC=2,则方程 =2必有实根,

即3x²-12x+16=0 必有实根.

但△=(-12)²-4×3×16=-48<0,说明此方程无实根,

所以不存在这样的线段MN.