北京市西城区抽样测试初三数学试卷

一、选择题（共12个小题，第1~4小题每题3分，第5~12小题每题4分，共44分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。请把正确结论的代号写在题后的括号内。

1. 如果实数a满足，且，那么a的值为（ ）

A. B. 0 C. 3 D.

2. 可化简为（ ）

A. B. C. D.

3. 菱形的周长为20cm，两条对角线的比为4:3，那么此菱形的面积等于（ ）

A. B. C. D.

4. 如果两个圆只有1条公切线，那么这两个圆的位置关系为（ ）

A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

6. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，，点C在⊙O上的位置如图所示，那么等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

7. A、B、C三种物质的质量m（千克）与体积V（米³）的关系如图所示，那么这三种物质的密度的大小关系为（ ）

A. B.

C. D.

8. 如果圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么它的侧面积等于（ ）

A. B. C. D.

9. 已知关于x的方程的两个实数根互为倒数，那么k的值为（）

A. 1 B. C. D.

10. 函数的共同性质是（ ）

A. 它们的图象都经过原点

B. 它们的图象都不经过第二象限

C. 在x>0的条件下，y都随x的增大而增大

D. 在x>0的条件下，y都随x的增大而减小

11. 如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，使点D落在BC边延长线上的F点，如果，那么点A从旋转开始到结束走过的路线长度为（）

A. B. C. D.

12. 如图，是边长为10的等边三角形，以AC为直径作⊙O，D是BC边上一点，，以D为圆心，DB为半径的⊙D与⊙O的位置关系为（）

A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13. 函数中，自变量x的取值范围是________

14. 如果某多边形的内角和与外角和的度数比为3:2，那么这个多边形的边数为________

15. 解方程组时，可将其化为两个方程组________________和________________。

16. 已知一组数据，那么这组数据的标准差为________

17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），点B在x轴的正半轴上，，在坐标轴上找一点P，使为等腰三角形，那么符合条件的点P有________个。

三、（共2小题，共11分）

18. （本小题满分6分）

当时，求代数式的值。

19. （本小题满分5分）

解方程：

四、（共2个小题，每小题5分，共10分）

20. 如图，已知测速站P和公路L在同一水平面上，P到公路L的距离PO为300米，事先在公路上找到了满足的A、B两点安装测速设备。一辆汽车在公路L上沿AB方向匀速行驶，测得它从点A到点B所用的时间为9秒。

（1）计算此车从点A到点B的速度v为每秒多少米（结果精确到个位，）；

（2）如果此路段限定时速不超过80千米，判断此车是否超速，并说明理由。

21. 已知：如图1，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，E为AB的中点，小明手头只有一把带刻度的直尺，他利用直尺上较长的刻度线画出了BC的垂线AF，垂足为F，（如图2），再连结EF。（如图3），然后他问同学小亮：“你知道EF和DC有什么位置关系吗？”

读完以上内容后，请解答下列问题：

（1）在图1中按小明的画法画出线段AF、EF；

（2）帮小亮证明EF和DC的位置关系。

五、（本题满分6分）

22. （1）观察下列等式：

①

②

③

如果a、b、c、d为实数，那么以上三个等式中都使用了同一种运算，可以看出，在这里，我们规定了________

（2）在（1）中这种运算的规定下，回答下列问题：

①方程可化为________________，它的解为________________

②现有一个关于x的方程，用的形式可将其改写为________________。（不解方程）

六、（本题满分6分）

23. 为保护环境，某校环保小组成员收集废电池，小亮第一天收集了5节5号电池和12节7号电池，称得总重量264克；第二天收集了7节5号电池和6节7号电池，称得总重量为240克。

（1）5号电池和7号电池每节各重多少克？

（2）为估计六月份小组全体成员收集电池的总重量，该环保小组随机抽取了该月某5天小组全体成员收集废电池的情况。（如下表所示）

日期	5日	9日	12日	18日	24日
5号废电池（单位：节）	29	30	32	28	31
7号废电池（单位：节）	51	53	47	49	50

问：这5天，小组全体成员平均每天收集这两种废电池各多少节？估计六月份环保小组全体成员收集废电池的总重量是多少千克？

七、（本题满分7分）

24. 已知：正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象有两个交点，其中

（1）求k的取值范围；

（2）作轴于点C，若的面积为2，求该反比例函数的解析式。

八、（本题满分8分）

25. 已知：如图1，直线交y轴于点C，点D（m，n）是这条直线上第一象限内的一点，以CD为直径的⊙M交x正半轴于两点，交y轴于点E。

图1

（1）用m、n的代数式表示点E、M的坐标；

（2）求证：

（3）如图2，若抛物线经过A、B、D三点，

图2

①求a的值；

②当弦CE与弦AB的长度相等时，求抛物线的解析式。

九、（本题满分8分）

26. 已知：如图，中，，点P在AB边上由点A向点B匀速运动，点Q在CB边上由点C向点B匀速运动，它们同时出发，速度都为1厘米/秒，当点Q先到达B点时，点P也停止运动。设P、Q两点运动的时间为t秒。

（1）若的面积为s（），求s（）与运动时间t（秒）的函数关系式及自变量t的取值范围；

（2）当为直角三角形时，它的面积是多少平方厘米？

（3）已知：P、Q两点的运动速度相同时，无论t为何值，都不可能是正三角形（请考试结束后进一步思考它的原因）。那么在“保持点P运动速度不变”的条件下，是否能通过改变点Q的运动速度，使在运动的过程中成为正三角形？若能，请求出点Q改变后的运动速度v和此时t的值；若不能，请说明理由。

【试题答案】

一、选择题（共12个小题，第1~4小题每题3分，第5~12小题每题4分，共44分）

1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. B

7. A 8. B 9. B 10. D 11. C 12. C

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13. 且14. 5

15.

16. 17. 6

*第17题讲评说明：要使等腰

（1）以AB为底：作AB的中垂线交x轴于，交y轴于

（2）以AB为腰：①要使A为顶角顶点：以A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于、B，交y轴于

②要使B为顶角顶点：以B为圆心，BA为半径作圆，交x轴于，交y轴于A、

所以共有6个符合条件的点P：

三、（共2个小题，共11分）

18. 解：

……2分

……3分

……5分

当时，原式……6分

19. 解：设，则原方程可化为……1分

解得……2分

当时，

此方程无实数根 ……3分

当时，

解得……4分

经检验，都是原方程的根

所以原方程的根是……5分

四、（共2个小题，每小题5分，共10分）

20. 解：（1）在中，

……1分

在中，

……2分

……3分

（米/秒） ……4分

（2）24米/秒＝86.4千米/时>80千米/时

（或80千米/时米/秒<24米/秒）

该汽车超过了每小时80千米的限制速度 ……5分

21. （1）画图见图1

图1

（2）证明：梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC

……2分

于F，E为AB的中点

为斜边上的中线

……3分

……4分

……5分

图2

五、（本题满分6分）

22. 解：（1）……2分

（2）①（或） ……3分

……4分

②……6分

*阅卷说明：第（2）②问中，其它符合题意的正确答案相应给分，如等等。

六、（本题满分6分）

23. 解：（1）设5号电池每节重x克，7号电池每节重y克 ……1分

依题意得……2分

解得……3分

答：5号电池每节重24克，7号电池每节重12克。

（2）小组全体成员平均每天收集5号电池（节）

……4分

平均每天收集7号电池（节） ……5分

（克）

答：估计六月份环保小组全体成员收集废电池的总重量是39.6千克 ……6分

七、（本题满分7分）

24. 解：（1）和在同一坐标系中的图象有两个交点A、B

两点的坐标是方程组的解 ……1分

消去y，整理得（或） ……2分

（或）

……3分

*阅卷说明：由于本题条件特殊，也可根据和图象所经过的象限及图象交点的个数直接判断出。

（2）由（1）得，且……4分

异号

……5分

作轴于点D

……6分

解得，该反比例函数的解析式为……7分

八、（本题满分8分）

25. （1）解：连结DE，作轴于点G，轴于点F，（如图1）

图1

为⊙M的直径

，即轴

点E的坐标为（0，n） ……1分

点M在第一象限

点M的坐标为……2分

*阅卷说明：由点D在直线上得到，利用此结论得到的点M坐标的其它正确表示相应给分，如点M的坐标还可表示为或等等。

（2）证明：轴于点G，即，M为圆心

……3分

，即……4分

（3）①解一：设过A、B两点的抛物线的解析式为

抛物线过D点

把代入上式，得

点D在第一象限

，两边除以n，得……6分

解二：抛物线过A、B、D三点

由抛物线和圆有公共对称轴可知抛物线过E（0，n）点

当时，的两根为

又

……6分

②由①得抛物线的解析式为

解一：作于G，于H（如图2）

图2

，而点M在第一象限

点M的横、纵坐标相等，即……7分

又点D在直线上

解由(1)、(2)组成的方程组，得

此时抛物线的解析式为

……8分

解二：

……7分

又点D（m，n）在直线上

方程(1)化为

两边平方，整理，得

解得

经检验，是增根，是方程(2)的解

点D在第一象限，符合题意

抛物线的解析式为……8分

*讲评说明：在第（3）问中注意以下两件事：

（1）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

（见课本第29页）

（2）满足两个条件“经过两点”的抛物线不确定。（如图3）

若设其解析式为

它的二次项系数不一定为1，需由第三个条件确定a的值，本题的第三个条件是“抛物线过D点”

图3

九、（本题满分8分）

26. 解：（1）

作于D（如图1）

图1

则

，即

……1分

……2分

时，不存在；时，P、Q的位置如图2所示

图2

的取值范围是……3分

（2）

，即

，即Q点在D点右侧

又，为直角三角形

只能（如图3）

（见题后的“*讲评说明”）

图3

此时

，即

直接开平方，得（或整理，得）

解得……4分

由（1）得，此时……5分

答：当为直角三角形时，它的面积为

（3）假设点Q运动的速度为v厘米/秒，P、Q两点运动t秒时，为正三角形

此时仍成立，，且（如图4）

图4

（厘米/秒） ……6分

又

解得……7分

点Q改变运动速度后，点P、Q运动到B点分别需要5秒和2.5秒，为使存在，需，而，在0与2.5之间

点Q改变后的运动速度为厘米/秒，t为秒时，能成为正三角形 ……8分

*讲评说明：第（2）问中，应让学生养成分类讨论的意识和严谨的书写习惯，排除某种情况需写明原因，不能光心里知道不写在卷面上，如此题需排除和等于的可能性，在分值富裕的情况下，这里会设一个得分点，就会有很多学生失分，需引起高度重视。