1999年全国初中数学竞赛试题

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1999年全国初中数学竞赛试卷

 


一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,

  C,D的四个结论,其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里)

 

  1.一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是( ).

   A.11 B.12 C.13 D.14

 

  2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么4月份该用户应交煤气费( ).

   A.60元 B.66元 C.75元 D.78元

 

  3.已知,那么代数式的值为( ).

   A. B.- C.- D.

 

  4.在三角形ABC中,D是边BC上的一点,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面积是( ).

   A.30 B.36 C.72 D.125

 

  5.如果抛物线与x轴的交点为A,B,项点为C,那么三角形ABC的面积的最小值是( ).

   A.1 B.2 C.3 D.4

 

  6.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得△PCD与△BCD的面积相等,并且△ABP为等腰三角形,这样的不同的点P的个数为( ).

   A.2 B.3 C.4 D.5

 

二、填空题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)

 

  7.已知,那么x2 + y2的值为    

 

  8.如图1,正方形ABCD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上,且EB=10cm,点P在边DC上运动,EP与AB的交点为F.设DP=xcm,△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2,那么,y与x之间的函数关系式是       (0<x<10).

 

 

 

 

 

 

  9.已知ab≠0,a2 + ab-2b2 = 0,那么的值为       

 

  10.如图2,已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中,A,B两点在第Ⅰ象限内,OA与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是      

 

 

 

 

 

  11.设有一个边长为1的正三角形,记作A1(如图3),将A1的每条边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4);将A2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3(如图5);再将A3的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A4,那么A4的周长是      

            

 

  12.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等.如果用两

台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机       台.

 

 

三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)

 

  13.设实数s,t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0,t2 + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求的值.

 

  14.如图6,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径,对角线AC和BD的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.

 

 

 

  

 

 

 

  15.有人编了一个程序:从1开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法)每次加法,将上次的运算结果加2或加3;每次乘法,将上次的运算结果乘2或乘3.例如,30可以这样得到:

    

   (1)(10分)证明:可以得到22;

   (2)(10分)证明:可以得到2100 + 297-2.

 

 

1999年全国初中数学竞赛答案

 

一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D

 

二、7.10 8.y = 5x + 50 9. 10. 11. 12.6

 

三、13.解:∵s≠0,∴第一个等式可以变形为:

      

      又∵st≠1,

       ∴,t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根,于是,有

       

      即st + 1 =-99s,t = 19s.

       ∴

 

  14.解:设圆心为O,连接BO并延长交AD于H.

∵AB=BD,O是圆心,

 ∴BH⊥AD.

又∵∠ADC=90°,

 ∴BH∥CD.

从而△OPB∽△CPD.

 

 ∴CD=1.

          于是AD=

          又OH=CD=,于是

          AB=

          BC=

          所以,四边形ABCD的周长为

 

  15.证明:

     (1)

  也可以倒过来考虑:

(或者.)

 

(2)

  或倒过来考虑:

  

  

  注意:加法与乘法必须是交错的,否则不能得分.