北京市石景山区2004年初中升学模拟考试

数学试卷

2004．5

考生须知

1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分，共8页。

3．认真填写第1、5页密封线内的学校、姓名、报名号和座位号。

第Ⅰ卷（选择题 48分）

注意事项

1．考生按要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。

2．考试结束，将试卷和机读答题卡一并交回。

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1-12题的相应位置上。

1．的倒数是

（A）3　　　　 （B）-3　　　　 （C）　　　　 （D）

2．计算的结果是

（A）0　　　　 （B）1　　　　　（C）2004-π　　 （D）π-2004

3．下列运算正确的是

（A）　　　　　　　 （B）

（C）　　　　　　　　（D）

4．据国家统计局发布的《2003年国民经济和社会发展统计公报》显示，2003年我国国内生产总值约为116700亿元，这个国内生产总值用科学记数法可表示为

（A）　　　　　 （B）

（C）　　　　　 （D）

5．在函数中，自变量x的取值范围是

（A）x≥3　　　（B）x≠3　　　 （C）x>3　　　 （D）x<3

6．如果半径比是2:3的两圆外切，且这个圆的圆心距是10，那么小圆的半径是

（A）2　　　　 （B）3　　　　　（C）4　　　　 （D）6

7．在△ABC中，∠C=90°，，那么cotA等于

（A）2　　　　 （B）　　　　 （C）　　　 （D）

8．如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C=36°，

则∠ABD的度数是

（A）72°　　　（B）63°　　　 （C）54°　　　 （D）36°

9．若一个圆柱底面半径是2cm，侧面积是，那么它的高是

（A）6cm　　　 （B）4cm　　　 （C）3cm　　　　（Ｄ）2cm

10．关于x的一元二次方程的根的情况是

（A）有两个不相等的实数根　　　 （B）有两个相等的实数根

（C）没有实数根　　　　　　　　 （D）无法确定

11．石景山某中学初三（1）班环保小组的同学，调查了本班10名学生自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，数据如下（单位：个）

10　　10　　9　　11　　10　　7　　10　　14　　7　　12

若一个塑料袋平铺后面积约为，利用上述数据估计如果将全班40名同学的家庭在一周内共丢弃的塑料袋全部铺开，面积约为

（A）　　 （B）　　 （C）　　 （D）

12．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积Ｓ关于m的函数关系的图象大致为

第Ⅱ卷（填空题、解答题　共72分）

注意事项

1．第Ⅱ卷包括七道大题。考生要在本试卷上按要求作答。

2．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔作答。画图可用铅笔。解答时，要写明主要步骤，结果必须明确。

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

13．不等式3x+2>5x-3的正整数解是_____________。

14．在你学过的几何图形中，是轴对称图形的有______________（写出两个即可）。

15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB=2，BC=4，

E是BC的中点，AE的延长线交⊙O于点F，则EF的长

是_________。

16．观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题。

问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有___________条横截线。

三、（共4个小题，共19分）

17．（本小题满分4分）

分解因式：

解：

18．（本小题满分4分）

计算：

解：

19．（本小题满分5分）

用换元法解方程：

解：

20．（本小题满分6分）

如图，为了测量河对岸某建筑物AB的高度，在平地上点C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12米到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，求建筑物AB的高度（结果保留根号）。

四、（本题6分）

21．请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：

【证明题】如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F

求证：PE+PF=CD

证明思路：

如图2，过点P作PG⊥AB交CD于G，

则四边形PGDE为矩形，PE=GD

又可证△PGC≌△CFP，则PF=CG

所以PE+PF=DG+GC=DC

【问题】若P是BC延长线上任意一点，其它条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程。

结论：

证明：

五、（本题6分）

22．　　　 列方程或方程组解应用题：

某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为销售价，共获利6000元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元，问此商品进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？

解：

六、（本题8分）

23．已知：等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程的两个实数根。若D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°，设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值。

解：

七、（本题8分）

24．已知：如图：BC是半圆O的直径，D、E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD的延长线交于点A，过点E作EF⊥BC于点F，交CD与点G。

（1）求证：AE=DE

（2）若，,求DG；

解：

八、（本题9分）

25．已知抛物线

（1）证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上；

（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM·ON=3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式；

（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A。点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上。试问：是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：

参考答案

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．B　2．B　3．D　4．A　 5．C　 6．C

7．A　8．B　9．C　10．A　11．D　12．D

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．1，2；

14．等腰三角形，矩形，菱形等；

15．；

16．12……1分；18……1分；16……2分

三、（共4个小题，共19分）

17．解：

……………………………………2分

=(x-a+1)(x-a-1)……………………………………4分

18．解：

……………………………………3分

=2…………………………………………………………4分

19．解：设

则原方程化为：

解得：y=3，y=-1……………………………………………2分

当时，解得：……………………………3分

当时，解得：………………………………4分

经检验：

都是原方程的解………………………………5分

∴原方程的解是

20．解：设AB=x，

在Rt△ACB和Rt△ADB中，

∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=12

∴DB=x，…………………………………………3分

…………………………………………………5分

∴…………………………………………………6分

答：建筑物AB的高度是米。

四、（本题6分）

21．结论：PE-PF=CD…………………………………………2分

证明：证法一

过点C作CG⊥AB于G，

∵PE⊥AB，CD⊥AB

∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°

∴四边形CGED为矩形，……………………………………3分

CD=GE，GC//AB

∴∠GCP=∠B

又AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP

在△PFC和△PGC中，

∴△PFC≌△PGC………………………………………………5分

∴PF=PG

∴PE-PF=PE-PG=GE=CD………………………………………6分

证法二：

过点P作PG⊥AB于DC延长线于G仿证法一证明步骤酌情给分。

五、（本小题满分6分）

22．解：设此商品进价是x元………………………………1分

则………………………………3分

解得：x=500……………………………………………………4分

经检验：x=500是方程的根……………………………………5分

答：此商品进价是500元，商场第二个月共销售160件………………6分

六、（本小题满分8分）

23．（1）∵△ABC是等边三角形

∴

∴……………………………………2分

解得：

∵

∵m=0不合题意，舍去

∴m=2即AB=8……………………………………………4分

（2）∵∠ADE=60°

∴∠ADB+∠CDE=120°

又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120°

∴∠BAD=∠CDE

又∵∠B=∠C=60°

∴△ABD∽△DCE……………………………………6分

∴

设BD=x，EA=y则DC=8-x，CE=8-y

∴

∴

∴当BD=4，即D为BC的中点时，EA有最小值6。……………………8分

七、（本小题满分8分）

24．

（1）证明：∵BC是半圆O直径

∴∠ADC=∠BDC=90°

∵

∴∠EDC=∠ECD

∴∠A=∠ADE

∴AE=DE……………………………………………………3分

（2）连结BE

∵

∴DE=EC

∴

∵BC是半圆O直径

∴∠BEC=90°即BE⊥AC

∴BA=BC

∵Rt△BDC中，

设BD=3x，CD=4x，则BC=5x

∴AB=BC=5x，AD=2x

∵AE·AC=AD·AB

∴

解得：x=2，即CD=8……………………………………6分

∵EF⊥BC

∴∠CEF+∠ECB=90°

∵B，C，E，D四点共圆

∴∠ADE=∠ECB

又∵∠EDC+∠ADE=90°

∴∠CEF=∠EDC

∵∠DCE为公共角

∴△ECG∽△DCE

∴

∴……………………………………8分

注：其它解法酌情给分。

八、（本小题满分9分）

25．解：

（1）

∴顶点坐标为（m,-m+3）

∴顶点在直线y=-x+3上………………………………2分

（2）∵抛物线与x轴交于M、N两点

∴△>0

即：

解得：m<3……………………………………3分

∵OM·ON=3

∴

当时，

，

∴m=0，m=-1

∴当m=0时，

（与OM≠ON矛盾，舍）

∴m=-1

当时，

，

∴m=2，m=-3

∴

……………………………………6分

（3）∵抛物线与y轴交点在原点的上方

∴，

∴C（-1，4），B（-1，0）

∵直线y=-x+3与x轴交于点A

∴A（3，0）

∵BA=BC

∴∠PCD=45°

∴设PD=DC=x，

则，

∵

∴

解得：

当时，

∴

∴

∴

当时，

∴

∴

∴或………………………………9分