哈尔滨市2004年初中升学考试数学试卷

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哈尔滨市2004年初中升学考试数学试卷

第I卷 选择题(30分)(涂卡)

一、单项选择题(每小题3分,共30分)

1.下列各式正确的是()

(A) (-a)2 = a2   (B) (-a)3 = a3   (C) -a2 = -a2   (D) -a3 = a3

2.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是()

(A) 1cm,2cm,4cm  (B) 8cm,6cm,4cm (C) 12cm,5cm,6cm (D) 2cm,3cm,6cm

3.不等式组     的整数是()

(A) -1,0,1      (B) -1,1      (C) -1,0        (D) 0,1

4.已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在()

(A) 第一象限      (B)第二象限    (C)第三象限    (D) 第四象限

5.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

(A)等边三角形      (B)等腰梯形    (C)平行四边形   (D) 正六边形

6.下列命题中,正确命题的个数是()

①一个锐角的余角还是一个锐角;②垂直于半径的直线是圆的切线;

③一个数的算术平方根一定比这个数小;④平分弦的直径垂直于这条弦.

(A)0         (B) 1        (C) 2         (D) 3

7.如图,已知:Rt△ABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线BC为轴旋转一周得一个圆锥,则这个圆锥的表面积为()cm2 .

(A)65π      (B) 90π      (C) 156π      (D) 300π

8.若   2  = -a,则实数a在数轴上的对应点一定在()

(A)原点左侧      (B)原点右侧    

(C)原点或原点左侧  (D)原点或原点右侧

9. ⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么认P为圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是()

(A)1或5        (B)1        (C)5         (D)1或4

10.直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有()个

(A)4         (B)5        (C)7         (D)8

 

第II卷  非选择题(90分)

二、填空题(每小题3分,共30分)

11.2003年我国国内生产总值(GDP)为116694亿元,用四舍五入法保留三个有效数字,用科学记数法表示约为      亿元.


12.若  =  ,则 =   .

(第15题图)

 
13.分解因式a2-2ab+b2-c2=    .

14.函数y=   +     中自变量x的取值范围是    .

15.如图,在RtΔABC,∠ACB=900, ∠A<∠B,CM是斜边AB的中线,将ΔACM沿直线

CM折叠,点A落在点C处,如果CD恰好与AB垂直,那么∠A等于   度.

16.如图,已知:AB和CD为⊙O的两条直径,弦CE//AB,  的度数为400,则

∠BOC=   度.

17.观察下列等式9-1=8

16-4=12

25-9=16

(第16题图)

 
36-16=20

…………

这些等式反映自然数间的某种规律,设n(n≥1)表示自然数,用关于n的等式表示这个规律为

                .

18.反比例函数y= (k是常数,k≠0)的图像经过点(a,-a),那么k    0(填“>”或“<”).

19.一个多边形的每一个外角都等于360,则该多边形的内角和等于   度.

20.若⊙O的直径AB为2,弦AC为  ,弦AD为  ,则S扇形OCD(其中,2S扇形OCD<S⊙O)为    .

三、解答题(其中21题4分,22题5分,23题4分,24—25题各5分,26—28题各6分,29题9分,30题10分,共60分)

21.(本题4分)


先化简   ÷(x-2+  )再求值,其中x=tan450-cos300.

 

C

22.(本题5分)

用换元法解方程:x2+2x-2=   .

 

23.(本题4分)

(第23题图)

 


如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,

连结AE,分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.

求证:AB=2OF.

24.(本题5分)

如图,在测量塔高AB时,选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点,用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是300和600.已知测角仪器高CE=1.5米,CD=30米.

求塔高AB.(答案保留根号)

25.(本题5分)

中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注,某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计,所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如下图,从左至右五个小组的频率之比依次是2:4:9:7:3,第五小组的频数是30.

(1)本次调查共抽测了多少名学生?

(2)本次调查抽测的数据的中位数应在哪个小组?说明理由.

(3)如果视力在4.9—5.1(含4.9、5.1)均属正常,那么全市初中生视力正常的约有多少人?

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.(本题6分)

如图:⊙O1与⊙O2外切于点P,O1O2的延长线交⊙O2于点A,AB切⊙O1于点B,交⊙O2于点C,BE是⊙O1的直径,过点B作BFO1P,垂足为F,延长BF交PE于点G.

(1)求证:PB2=PG·PE;

(2)若PF= ,tan∠A= ,求:O1O2的长.

 

 

 

 

 

 

27.(本题6分)

“利海”通讯器材商场,计划用60000元从厂家购进若干部新型手机,以满足市场需求,已知该厂家生产三种不同型号的手机,出厂价分别为甲种型号手机每部1800元,乙种型号手机每部600元,丙种型号手机每部1200元.

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完.请你帮助商场计算一下如何购买.

(2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完,并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部,请你求出商场每种型号手机的购买数量.

28.(本题6分)

小明同学骑自行车去郊外春游,下图表示他离家的距离y(千米)与所用的时间x(小时)之间关系的函数图象.

(1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方需几小时?此时离家多远?

(2)求小明出发两个半小时离家多远?

(3)求小明出发多长时间距家12千米?

29.(本题9分)

如图:已知,△ABC内接于⊙O,弦BC所对的劣弧为1200,∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE分别交AC于D,交AB于E,BD、CE相交于点F.

(1)求cot∠EFB的值;

(2)EF=DF;

(3)当BF=3EF,且线段BF、CF的长是关于x的方程x2-(2m+6)x+2m2=0(m>0)的两个实数根时,求AB的长.

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.(本题10分)

已知:抛物线y=- x2-(m+3)x+m2-12与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<0,x2>0,抛物线与y轴交于点C,OB=2OA.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在x轴上,点A的左侧,求一点E,使△ECO与△CAO相似,并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D;

(3)过(2)中的点E的直线y= x+b与(1)中的抛物线相交于M、N两点,分别过M、N作x轴的垂线,垂足为M'、N',点P为线段MN上一点,点P的横坐标为t,过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q.是否存在t值,使S梯形 MM'N'N:S△QMN=35:12,若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

哈尔滨市2004年初中升学考试数学试题

参考答案及评分标准

一、单项选择题(每小题3分,共30分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

C

B

D

B

B

C

A

C

二、填空题(每小题3分,共30分)

11.1.17×105;  12.  ; 13.(a-b-c); 14.3<x≤5; 15.30;

16.70;  17.(n+2)2-n2=4(n+1); 18.k<0; 19.1440; 20.  或者 .

三、解答题(其中21题4分,22题5分,23题4分,24—25题各5分,26—28题各6分,29题9分,30题10分,共60分)

21.解:原式=                  ………………………………………………(1分)

 

      =    …………………………………………………………………………………(1分)

 

x=tan450-cot300=1-  时,………………………………………………………………………(1分)

 

原式=    = …………………………………………………………………………………(1分)

 

22.解:设x2+2x=y,则原式可化成y2-2y-3=0,………………………………………………………(1分)

解得y1=3,y2=-1……………………………………………………………………………… (1分)

当y=3时,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1……………………………………………………(1分)

当y=-1时,x2+2x-3=0,解得x3= x4=-1………………………………………………………(1分)

经检验x1=-3,x2=1,x3= x4=-1都是原方程的根

∴原方程的根是x1=-3,x2=1,x3= x4=-1………………………………………………………(1分)

23.证明:连结BE

O

 

A

 

D

 
∵四边形ABCD为平行四边形

 

 


∴AB  CD,AO=OC…………………………………(1分)

=

 

=

 


∵CE=CD,∴AB  CE,

∴四边形ABEC为平行四边形,………………… (1分)

 


∴BF=FC,………………………………………… (1分)

=

 


∴OF   AB,即:AB=2OF.……………………… (1分)

24.解:由题意可知:EG、CD、30,

∵∠AEG=300,∠AGF=600   ∴∠EAG=300,  ∴EG=AG=30…………………………………(1分)

 在Rt△AFG中,sin600=  ,……………………………………………………………………(1分)

∴AF=AG·sin600=30×  =15 (米)……………………………………………………………(1分)

∴AB、AF+FB=(15  +  )米……………………………………………………………………(1分)

答:塔高AB为(15  +  )米. ……………………………………………………………… (1分)

25.解:(1)因为频率之比等于频数之比,

  设第一小组的频数为2k,所以各组的频数依次为2k、4k、9k、7k、3k,

于是3k=30,所以k=10. ……………………………………………………………………………(1分)

  所以2k=20,4k=40,9k=90,7k=70,所以20+40+90+70+30=250(人).

  答:本次调查共抽测了250名学生. ………………………………………………………………(1分)

  (2)中位数应在第三小组. ………………………………………………………………………(1分)

    ∵250个数据的中位数是第125和第126两个数据的平均数,

前两个小组的频数之和是20+40=60,60<125

第三小组的频数是90,90+60=150,150>126,

∴中位数应在第三小组. ……………………………………………………………………(1分)

(3)∵视力在4.9—5.1范围内的人有70人,

∴频率=  =0.28,

∴全市初中生视力正常的约有40000×0.28=11200(人),

答:全市初中生视力正常的约有11200人. ………………………………………………………(1分)

26.(1)∵BE是⊙O1的直径, ∴∠BPE=900, ∵BF┴O1P,∴∠BPF+∠FBP=900

∵∠GPF+∠BPF=900, ∴∠GPF=∠BPF,……………………………………………………(1分)

∵O1E= O1P, ∴∠E=∠GPF=∠PBF,

又∵∠BPG=∠EPB=900, ∴△GPB∽△BPE,

    ,∴PB2=PE·PG. …………………………………………………………………(1分)

(2)∵AB是⊙O1的切线, ∴O1B┴AB, ∴△O1BF∽△O1AB, ∴∠O1BF=∠A,

∵tan∠A= ,    ∴tan∠O1BF= ,……………………………………………………(1分)

设O1F=3m,则BF=4m,由勾股定理得:O1B=5m=O1P, ∴PF=5m-3m=2m,

又∵PF= ,∴m= ,…………………………………………………………………………(1分)

∴O1B=O1P=  ,∵tan∠A= ,BF=4m,∴AF=  m,AP=  m-2m=   m=  ,

∴PO2=  ,∴O1O2=  + =5. ……………………………………………………………(1分)

27.解:(1)设甲种型号手机要购买x部,乙种型号手机购买y部,丙种型号手机购买z部,

根据题意,得:                           ………………(1分)

 

                                   ………………(1分)

 

答:有两种购买方法:甲种手机购买30部,乙种手机购买10部;或甲种手机购买20部,乙种手机购买20部. …………………………………………………………………………………(1分)

(2)根据题意,得:              ………………………………………(1分)

 

  

解得:               ………………………………………………(1分)

 

答:若甲种型号手机购买26部手,则乙种型号手机购买6部,丙种型号手机购买8部;

若甲种型号手机购买27部手,则乙种型号手机购买7部,丙种型号手机购买6部;

若甲种型号手机购买28部手,则乙种型号手机购买8部,丙种型号手机购买4部;

………………………………………………………………………………………………… (1分)

28.解:(1)由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时;此时,他离家30千米.………… (1分)(2)设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C(2,15)、D(3,30),

      代入得:y=15x-15,(2≤x≤3)…………………………………………………………(1分)

      当x=2.5时,y=22.5(千米)答:出发两个半小时,小明离家22.5千米. ………(1分)

   (3)设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2

      由E(4,30)、F(6,0),代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)……………………………(1分)

      过A、B两点的直线解析式为y=k3x,∵B(1,15)  ∴y=15x.(0≤x≤1) ………(1分)

    分别令y=12,得x=  (小时),x= (小时).

    答:小明出发 小时或  小时距家12千米. ………………………………………………(1分)

29.解:(1)∵  为1200,∴∠A=600,∴∠ABC+∠ACB=1200,……………………………………(1分)

      ∵BD、CE平分∠ABC和∠ACB,∴ ∠ABC+ ∠ACB=600=∠BFE,

      ∴cot600=  . ………………………………………………………………………… (1分)

   (2)作∠BFC的平分线FM交BC于点M,

      则∠BFM=∠CFM=600

      在△BFM与△BFE中,              

 

      ∴△BFM≌△BFE中,……………………………(1分)

      ∴MF=EF.

      同理可证:△CFM≌△CDF,…………………… (1分)

      ∴MF=DF,∴EF=DF,…………………………… (1分)

    (3)设EF=k,则BF=3k,在BF上截取FN=EF=k,

       则BN=2k,△FEN为等边三角形,

       ∴EN=EF=k,∴∠BNE=1200,∴△BNE∽△BFC,

       ∴      ,∴CF=  ,……………………………………………………………(1分)

       ∵BF、CF的长是方程x2-(2m+6)x+2m2=0的两个实数根,由根与系数的关系可知:

        BF+CF=3k+  =2m+6, BF·CF=  =2m2,

      

联立,消去k得5m2-24m-36=0,解得:m1=6,m2=- , ∵m>0, ∴m=- (舍). ……(1分)

当m=6时,方程为x2-18x+72=0,解得:x1=12=BF,x2=6=CF, ∴EF=4.

过点E作EH┴BF于H,则FH=2,由勾股定理得:EH=  ,BH=12-2=10,

由勾股定理得:BE=        ,…………………………………………………(1分)

∵△BFE∽△BAD,∴    ,

∴AB=            . ……………………………………………………(1分)

 

30.解:(1) ∵x1<0,x2>0, ∴OA=x1,OB=x2,

       ∵x1,x2是方程 - x2-(m+3)x+m2-12=0的两个实数根,

        由根与系数关系得:x1+x2=-2(m+3)①x1·x2=-2(m2-12) ②x2=-2x1③………… (1分)

        联立,整理,得:m2+8m+16=0,解得:m1=m2=-4,……………………………… (1分)

       ∴抛物线的解析式为y=- x2+x+4. ……………………………………………………(1分)

    (2)设点E(x,0),则OE=-x,

       ∵△ECO与△CAO相似,

       ∴     ∴     ∴x=-8

       ∴点E(-8,0),…………………………………(1分)

       设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′

       由题意得:               

       

所以直线EC的解析式为:y= x+4……… (1分)

∵抛物线的顶点D(1, ),当x=1时,y= ,

∴点D在直线EC上. ………………(1分)

(3)存在t值,使S梯形MM′N′N:S△QMN=35:12. ………………(1分)

∵E(-8,0),∴0= ×(-8)+b,∴b=2,

    ∴y= x+2, ∴x=4(y-2),

    ∴y=- ×[4(y-2)]2+4(y-2)+4,整理得:8y2-35y+6=0,设M(xm,ym)、N(xn,yn),

  ∴MM′=ym,NN′=yn, ∴ym、yn是方程8y2-35y+6=0的两个实数根,

  ∴ym+yn=  ,……………………………………………………………………………(1分)

  ∴S梯形MM′N′N= (ym+yn)(xn-xm),

  ∵点P在直线y= x+2上,点Q在(1)中抛物线上

  ∴点P(t, +2)、点Q(t, -  t2+t+4),

 ∴PQ=- t2+t+4- t-2=- t2+ t+2,

 分别过M、N作直线PQ的垂线,垂足为G、H,则GM=t-xm,NH=xn-t,

∴S△QMN= S△QMP+S△QNP= PQ(xn-xm),

∵S梯形MM′N′N:S△QMN=35:12

 

∴            …………………………………………………………… (1分)

 

   (- t2+ t+2),

整理,得:2t2-3t-2=0,解得:t1=- ,t2=2,

∴当t=- 或t=2时,S梯形MM′N′N:S△QMN=35:12. …………………………………………(1分)

 

注:有不同于本评分标准的正确答案,可按相应的解题步骤给分.