点动型探究题

1.点在直线上运动

1. 解：（1）不变.　　………………………………………………………………1分

　　　　　  理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变.　………3分

　　　 （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大.　　………………………………4分

　　　　　 如图，若h与OP不相等，则总有h<OP，

　　　　　 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大. …………………………………5分

　　　　　 此时，S_△AOB=.

　　　　　 所以△AOB的最大面积为. ……………6分

2.2005年无锡市

解、（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

（2）注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S_△PEF=，得S_△PEF==.　 ∴当，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值.

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.

3.解、解：（１）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　

由题意，得　　　　　 b＝6

8k＋b＝0　　　

解得 　k＝－ 　　 b＝6

所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．　………２分

（２）由　AO＝6， BO＝8 得　AB＝10

所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1°　当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以　＝　　解得　t＝(秒)　………４分

2°　当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以　＝　　解得　t＝(秒) ………６分

（３）过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝　　 …………７分

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8－t

所以，S_△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)

　　　　　 ＝－＋4t＝ ……………………９分

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）． ……………………10分

（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）

1.

.解：（1）S_△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2， 　　　　………1分

　　　解得　＝1，＝2　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　 ………2分

∴当时间为1秒或2秒时，S_△PCQ＝2厘米²； 　　………3分

（2）①当0＜≤2时，S＝＝； ………5分

　 ②当2＜≤3时，　　S＝＝；………7分

　 ③当3＜≤4.5时，S＝＝；…9分

（3）有；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　 　　 　　　　　　………10分

①在0＜≤2时，当＝，S有最大值，S₁＝； ………11分

　　②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S₂＝；　　　 ………12分

　　③在3＜≤4.5时，当＝，S有最大值，S₃＝；　 ………13分

∵S₁＜S₂＜S₃∴＝时，S有最大值，S_最大值＝．　　 ………14分

2.解⑴C（2a，0），……………………………………………1分

D（0，2a+8）………………………………………………………………2分

⑵方法一：由题意得：A（－4，0），B（0，4）

－4＜a＜0，且a≠2，………………………………………………………………3分

①　　  当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时

AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a

∴AC=BD……………………………………………………………………………5分

②　　  当2a+8＞4，即－2＜a＜0时

同理可证：AC=BD

综上：AC=BD……………………………………………………………………………6分

方法二：①当点D在B、O之间时，

连CD，∵∠COD＝90°

∴圆心M在CD上，………………………………………………………………3分

过点D作DF∥AB，

∵点M为CD中点，

∴MA为△CDF中位线，

∴AC＝AF，…………………………………………………………………………4分

又DF∥AB，

∴，

而BO＝AO　　

∴AF=BD

∴AC＝BD……………………………………………………………………………5分

②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD

综上：AC=BD…………………………………………………………………………6分

⑶方法一

①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，

E的纵坐标为a+6，∴ME=(y_E－y_M)=[a+6-(a+4)]=2…………………7分

AB=4…………………………………………………………………………8分

∴AB=2ME…………………………………………………………………………9分

②AM=( y_M－y_A)＝(a+4)，BE=y_E－y_B=a+2，……………………10分

∵AM=BE

又－4＜a＜0，且a≠2，

1⁰  当－4＜a＜－2时

(a+4)= －(a+2)

∴a=－3

M（－3，1）………………………………………………………………………11分

2⁰  当－2＜a＜0时

(a+4)= (a+2)

∴a不存在………………………………………………………………………12分

方法二：

①当点D在B、O之间时，作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q，取AB中点N，

在Rt△MNO与Rt△DEM中，MO＝MD

∠MON＝45⁰－∠MOP

∠EMD＝45⁰－∠DMQ＝45⁰－∠OMQ＝45⁰－∠MOP

∴∠MON＝∠EMD

∴Rt△MNO≌Rt△DEM………………………………………………………………7分

∴MN＝ED＝EB

∴AB＝2NB＝2（NE＋EB）＝2（NE＋MN）＝2ME…………………………8分

当点D在点B上方时，同理可证………………………………………………9分

②当点D在B、O之间时，

由①得MN=EB，

∴AM=NE　……………………………………………………………………10分

若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=

∴M（－3，1）……………………………………………………………………11分

点D在点B上方时，不存在。…………………………………………………12分

注：（2）、（3）两问凡需要讨论而没有讨论的，每漏讨论一次扣1分。