2005年辽宁锦州中考数学试题
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，本题共8个题，每题3分，共24分)
1.用一个垂直于长方体底面的平面去截如图的长方体，截面应为( )
2.下列计算正确的是( )
A.(-x)2005=x2005 B.(2x)3=6x3 C.2x2+3x2=5x2 D.x6÷x2=x3
3.小明调查了本班同学最喜欢的球类运动情况，并
作出了统计图，下面说法正确的是( )
A.从图中可以直接看出全班总人数
B.从图中可以直接看出喜欢足球运动的人数最多
C.从图中可以直接看出喜欢各种球类运动的具体人数
D.从图中可以直接看出喜欢各种球类运动的人数的百分比
4.一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后是( )
5.已知力F所作的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S之间关系的图象大致是( )
6.下列函数关系中，是二次函数的是( )
A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
7.以下说法正确的是( )
A.在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同
B.一个游戏的中奖率是1％，买100张奖券，一定会中奖
C.一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件
D.一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是
8.如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为( )
A.3
cm B.3
cm C.4cm D.4
cm
二、填空题(本题共8个题，每题3分，共24分)
9.2004年12月26日，印度洋海域发生强烈地震并引发海啸，锦州市中小学师生纷纷捐款捐物，为灾区早日重建家园奉献爱心.全市中小学师生共捐款202655.74元，这一数据用科学记数法表示为____元(结果保留四个有效数字).
10.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm，它们的方差依次为S2甲=0.162，S2乙=0.058，S2丙=0.149.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是____机床.
11.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为____.
12.观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.
13.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为____.
14.在某数学小组的活动中，组长为大家出了一道函数题：这是一个反比例函数，并且y随x的增大而减小.请你写山一个符合条件的函数表达式____.
15.某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道?设原计划每天铺设x米管道，根据题意得____.
16.如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为2cm，则徽章内的菱形的边长为____cm.
三、解答题(本题共2个题，每题5分，共10分)
17.下面(1)、(2)两个小题中，请任选一题作答，若两个小题都解答，只以第(1)题评分.
；
.
18.九年三班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：
四、解答题(本题共3个题，每题6分，共18分)
19.如图，己知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2.(不写作法，但保留作图痕迹)
20.某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标.
21.2004年，锦州市被国家评为无偿献血先进城市，医疗临床用血实现了100％来自公民白愿献血，无偿献血总量5.5吨，居全省第三位.
现有三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率.(要求：用列表或画树状图的方法解答)
五、解答题(本题共2个题，每题7分，共14分)
22.某校为了推动信息技术的发展，举行了电脑设计作品比赛，各班派学生代表参加，现将所有比赛成绩(得分取整数，满分为100分)进行处理然后分成五组，并绘制了频数分布直方图，请结合图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参加比赛学生的总人数是多少?
(2)80.5～90.5这一分数段的频数、频率是多少?
(3)这次比赛成绩的中位数落在哪个分数段内?
(4)根据统计图，请你也提出一个问题，并做出回答.
23.温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x(℃)，华氏温度为y(°F)，则y是x的一次函数.
(1)仔细观察图中数据，试求出y与x之间的函数表达式；
(2)当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少?
六、解答题(本题共8分)
24.如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?
七、解答题(本题共10分)
25.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；
(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.
八、解答题(本题共12分)
26.如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为
.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法.
注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分.
参考答案及评分标准
说明：1.在阅卷过程中，如考生还有其他正确解法，可参照评分标准按步骤酌情赋分；
2.只给整数分数.
一、选择题(本题共8个题，每题3分，共24分)
1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
二、填空题(本题共8个题，每题3分，共24分)
9.2.027×105 10.乙 11.70 12.10000或1002 13.
(不化简扣1分)
14.答案不惟一，例如
，写出的关系式只要满足x·y值为正数即可.
15.
16.1
三、解答题(本题共2个题，每题5分，共10分)
下面(1)、(2)两个小题中，任选一题作答，若两个都解答，则以第(1)题评分.
17.(1)解：
……4分
……5分
(2)解：
……3分
……5分
18.解：设有x个小组，根据题意得
……3分
解这个不等式组，得
……4分
根据题意，x为正整数，∴x=5.因此班长应将学生分为5组. ……5分
四、解答题(本题共3个题，每题6分，共18分)
19.评价要求：
此题可有若干种作法，只作一种即可.不写作法，但保留作图痕迹.
可按位似图形放大，且位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部，在每一处都会有两种图形，因此，此题属开放试题，仅举示例供参考：
注：(1)若新图形不标字母，不写结论，不扣分；
(2)作图思路正确但不规范，可酌情扣分；
(3)若新图形与原图形相似，但相似比错误，扣3分.
20.评价要求：
(1)直角坐标系建立正确得2分(包括原点、单位长度和正方向)；
(单位长度可自己规定，也可默认一个网格的边长为单位1)
(2)A，B，C，D的坐标正确各得1分，合计6分.
注：将坐标写在网络中，只要正确不扣分.
21.评价要求：正确列表或画树状图，可得4分，结论2分.只写出结论得2分.
解：列表如下：
|
| O | O | A |
| O | (O,O) | (O,O) | (O,A) |
| O | (O,O) | (O,O) | (O,A) |
| A | (A,O) | (A,O) | (A,A) |
所以两次所抽血型为O型的概率为
. ……6分
树状图如下：
所以两次所抽血型为O型的概率为. ……6分
五、解答题(本题共2个题，每题7分，共14分)
22.(1)参赛学生总人数为4+12+20+10+6=52(人)； ……1分
(2)80.5-90.5这一分数段的频数为10，频率是
； ……3分
(3)这次比赛成绩的中位数落在70.5-80.5这一分数段内； ……5分
(4)答案不惟一，请评卷教师认真阅读，只要合理，就可给分.提问题举例：
①这次竞赛成绩的众数落在哪一个分数段内？
答：众数落在70.5-80.5这一分数段内； ……7分
②90.5-100.5分数段内的学生与50.5-60.5分数段内的学生哪一个多？
答：在90.5-100.5分数段内的学生多；
③若规定90分以上(不含90分)为优秀，则此次考试的优秀率为多少？答：
.
23.(1)设一次函数表达式为y=kx+b，由温度计的示数得x=0，y=32；x=20时，y=68.将其代入y=kx+b，得(任选其它两对对应值也可) ……1分
……3分 解得
∴
. ……5分
(2)当摄氏温度为零下15℃时，即x=-15，将其代入，得
所以当摄氏温度为零下15℃时，华氏温度为5°F. ……7分
六、解答题(本题共8分)
24.评价要求：此题解法不惟一，只要合理，即可赋分.
解：1小时45分=
小时.
在Rt△ABD中，
(海里)，
∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ……2分
∵cos24°15′=
，
∴
(海里). ……4分
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′=
，
∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险. ……8分
七、解答题(本题共10分)
25.(1)AF=BE. ……1分
证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°.
∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE. ……3分
(2)成立. ……4分
理由：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°.
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.
即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE. ……6分
(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分.
如图，(1)中的结论仍成立.
……8分
(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：
如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE. ……10分
八、解答题(本题共12分)
26.(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入
，
得y=10，∴A(0,10) ……1分
∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入得，
，∴x1=0, x2=8.
∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10) ……2分
∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入得，
解得∴x1=-10，x2=18.
∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0). ……4分
(2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
∴
. ……5分
设MN=x，NP=y，则有
.∴y=18-x. ……6分
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81. ……8分
法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴
.
设MN=x，NP=y，则有
.∴y=18-x.
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.
设MN=x时矩形MNPO的面积最大.
∴PN=PC=OC-OP=18-x.
∴S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.
①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分. ……4分
②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可. ……4分
③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一
半，因此有：
，
；
，
；
，
；
，
；
……
不要求写出P点的坐标. ……4分
④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分； ……1分
