河北省2005年中考数学试题及参考答案
卷Ⅰ
一、选择题
1．－3的相反数是
A．－
B． C．－3 D．3
2．计算(x2y)3，结果正确的是
A．x5y B．x6y C．x2y3 D．x6y3
3．等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是
A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r
5．用换元法解分式方程
时，如果设
，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是
A．
B．
C．
D．
6．已知：如图1，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点。若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为
A．3 B．4
C．6 D．8
7．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例。图2表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为
A．
B．
C．
D．
8．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了。下面两个图框使用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例。若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是
A．2，3 B．3，3 C．2，4 D．3，4
9．古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是
A．5 B．6 C．7 D．8
10．一根绳子弯曲成如图3－1所示的形状。当用剪刀像图3－2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3－3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段。若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n－1）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是
A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋5
卷Ⅱ
二、填空题
11．已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是－50m，那么甲地比乙地高
m．
12．已知：如图4，直线a∥b，直线c与a，b相交，若∠2＝115°，则∠1＝ 。
13．生物学家发现一种病毒的长度约为0.000 043mm，用科学计数法表0.000 043的结果为 。
14．将一个平角n等分，每份是15°，那么n等于 。
15．分解因式
＝
。
16．如图5，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m（杆的粗细忽略不计）。
17．不等式组
的解集是
。
18．高温锻烧石灰石（CaCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）。如果不考虑杂质及损耗，生产生石灰14吨就需要锻烧石灰石25吨，那么生产生石灰224万吨，需要石灰石
万吨。
19．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是 。
20．如图6，已知圆锥的母线长OA＝8，地面圆的半径r＝2。若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根式）。
三、解答题
21．已知
，求
的值。
22．已知：如图7，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF。
求证：AE＝CE。
23．工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图8－1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图8－1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图8－2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图8－1中的数据。计算这种铁球的直径。
24．为了解甲、乙两名运动员的体能训练情况，对他们进行了跟踪测试，并把连续十周的测试成绩绘制成如图9所示的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格。
（1）请根据图9中所提供的信息填写下表：
| 平均数 | 中位数 | 体能测试成 绩合格次数 | |
| 甲 | 65 | ||
| 乙 | 60 |
（2）请从下面两个不同的角度对这两名运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数和成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数和中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。
（3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。
25．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 。
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
26．操作示例
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11－1中的四边形BNED。
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED。
实践与探究
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图11－1，用数字表示对应的图形）。
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。
27．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）。
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成
的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
28．如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
2005年河北省中考数学答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | D | B | B | A | B | C | C | A | A |
二、填空题
11．350 12．65° 13．4.3×10－5 14．12 15．(x＋y)(x－y＋a)
16．4 17．
＜x＜4 18．400 19．10％ 20．
三、解答题
21．解：原式＝
当x＝
时，原式＝
22．证明：∵ AB∥FC，∴ ∠ADE＝∠CFE
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△AED≌△CEF
∴AE＝CE
23．解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P，如图
∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ABDC是矩形
∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，
∴OE⊥CD
∴OE⊥AB
∴PA＝PB
∴PE＝AC
∵AB＝CD＝16，∴PA＝8
∵AC＝BD＝4 PE＝4
在Rt△OAP中，由勾股定理得 
，
即
∴解得OA＝10，所以这种铁球的直径为20cm。
24．解：
| 平均数 | 中位数 | 体能测试成 绩合格次数 | |
| 甲 | 60 | 65 | 2 |
| 乙 | 60 | 57.5 | 4 |
（1）见表格。
（2）（2）①乙；②甲。
（3）从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都成上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格的次数比甲多，所以乙训练的效果较好。
25．解：（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时。
（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为
。由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），∴
，解得
∴ y＝－15x＋30
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为
。由图可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，25），∴
，解得
∴ y＝－10x＋25
（3）由题意得 －15x＋30＝－10x＋25，解得x＝1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。
观察图象可知：当0≤x＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低。
26．解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形。
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°，
∴DM＝DE，∴四边形MNED是正方形。
∵
，
∴正方形MNED的面积为
；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图2
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等。
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。
（2）答：能。
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，……依此类推。由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形。
27．解：（1）未租出的设备为
套，所有未出租设备支出的费用为（2x－540）元；
（2）
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套。因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套；
（4）
∴ 当x＝325时，y有最大值11102.5。但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34. 5套，而34.5不是整数，故出租设备应为34（套）或35（套）。即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元。
28．解（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM＝DC＝12
∵QB＝16－t，∴S＝
×12×(16－t)＝96－t
（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，
，由PQ2＝BQ2 得 
，解得t＝
；
|
。由BP2＝BQ2 得：
即
。
由于Δ＝－704＜0
∴无解，∴PB≠BQ
③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得
整理，得
。解得
（不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t＝
秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得
∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t。
∴t＝
。
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。
在RT△PEQ中，tan∠QPE＝
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得
，即
。解得t＝9
所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。