玉溪市2005年高中（中专）招生统一考试
数学试卷
一、选择题（让你算的少，要你想的多，只选一个可要认准啊！每小题3分，共24分）
1．下列说法正确的是 （ ）
A．－1的倒数是1 B. －1的相反数是－1 C. 1的算术平方根是1 D. 1的立方根是±1
2．下列运算错误的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．地球赤道长约为
千米，我国最长的河流——长江全长约为
千米，赤道长约
等于长江长的 （ ）
A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍
4．如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，
B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 （ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
5．不等式组
的解集表示在数轴上正确的 （ ）
6．如图2，已知EF是梯形ABCD的中位线，若AB＝8，BC＝6，
CD＝2，∠B的平分线交EF于G，则FG的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．观察图3－图6及相应推理，其中正确的是（ ）
8.一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分
由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时
间之间的函数关系如图7所示，那么甲、乙两人单独完成这件工
作，下列说法正确的是 （ ）
A．甲的效率高 B．乙的效率高
C．两人的效率相等 D．两人的效率不能确定
二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共36分）
9．在实数－2，
，0，－1.2，
中，无理数是 。
10．多项式
是一个完全平方式，则M等于（填一个即可）
。
11．如图8，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个） 。
12．已知
，以x，y为两边长的等腰三角形的周长是
。
13．已知关于x的方程
有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是 。
14．用换元法解方程
时，如果设
，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是
。
15．如图9，△ABC内接于⊙O，直线CT切⊙O于点C，若∠AOB＝80°，∠ABC＝110°，则∠BCT＝ 度。
16．在图10中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 。
17．如图11，小红房间的窗户由六个小正方形组成，装饰物是两个四分之一圆，用只含a（或只含b）的代数式表示窗户中能射进阳光部分的面积是 。
18．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图12所示。飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中飞行距离是 千米。
19．一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点
处，第二次从点跳动到O的中点
处，第三次从点跳动到O的中点
处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为
。
20．编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图14中的
，……则每一根这样的竹条的长度最少是
。
三、解答题（耐心计算，仔细观察，表露你萌动的智慧！本大题共15分）
21．（4分）计算：
22．（5分）下表是两个实践活动小组的实习报告的部分内容，请你任选一个组的测量方案和数据，计算出铁塔的高AB（精确到1m，计算过程在表格中完成）。
| 题目 | 测量底部可以到达的铁塔的高 | |
| 组别 | 甲组 | 乙组 |
| 测量目标 |
|
|
| 测量数据 | ∠1＝30° ∠2＝60° EF＝30m CE＝DF＝NB＝1.3m | ∠α＝27°27′ BP＝50m MP＝NB＝1.3m |
| 计算 | 选择 组测量方案。 解： | |
| 参考数据 |
cot27°27′≈1.925 | |
cos27°27′≈0.887 tan27°27′≈0.52023．（6分）小明在银行存入一笔零花钱。已知这种储蓄的年利率为n％，若设到期后的本息和（本金＋利息）为y（元），存入的时间为x（年），那么
（1）下列哪个图象更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？（3分）
（2）根据（1）的图象，求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和。（3分）
四、解答题（合情推理，准确表述，展示你聪灵的气质！本大题共24分）
24．（7分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时）。以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断。张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我1小时就跑完了全程，还是慢点。”李：“虽然我的时速快，但最大时速也不超过我平均时速的10％，可没有超速违法啊。”李师傅超速违法吗？为什么？
25．（8分）如图19，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD
且∠ABC为锐角，若AD＝4，BC＝12，E为BC上一点。
问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？
请分别说明理由。
26．（9分）中考前夕，某校为了了解初三年级480名学生的数学学习情况，特组织了一次检测。教师随机抽取了一部分学生的检测成绩进行统计分析，绘制成下表：
初三年级数学检测质量分析抽样统计表
| 样本容量 | 平均分 | 及格率 | 优秀率 | 后进率 | 最高分 | 最低分 | 全 距 | 标准差 | |
|
| 87.5 | 80％ |
| 2％ | 120 | 29 | 91 | 18.3 | |
| 分 数 段 统 计 | |||||||||
| 分数段 | 0－35.5 | 36－47.5 | 48－59.5 | 60－71.5 | 72－83.5 | 84－95.5 | 96－107.5 | 108－119.5 | 120 |
| 频数 | 1 | 2 | 3 |
| 9 | 14 | 10 | 6 | 1 |
| 频率 | 0.02 | 0.04 | 0.06 | 0.08 |
| 0.28 | 0.20 | 0.12 | 0.02 |
注：72分（含72分）以上为“及格”；96分（含96分）以上为“优秀”；36分（不含36分）以下为“后进”；
“全距”是“最高分”与“最低分”之差。
（1） 仔细观察上表，填出表中空格处的相应数据；（4分）
（2） 估计这480名学生本次检测成绩的中位数落在哪个分数段内；（2分）
（3） 根据表中相关统计量及相应数据，结合你所学的统计知识，选择两个方面对这次检测的总体情况作出合理分析。（3分）
五、综合题（锲而不舍，树立信心，凸现你无畏的坚韧！本大题共21分）
27．（10分）如图20，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，
切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO.
（1） 求证：CD∥AO；（3分）
（2） 设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x
的取值范围；（3分）
（3） 若AO＋CD＝11，求AB的长。（4分）
28．（11分）如图21，已知抛物线
的图象与x轴交于A、C两点。
（1）若抛物线
关于x轴对称，求
的解析式；（3分）
（2）若点B是抛物线
上一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在上；（4分）
（3）探索：当点B分别位于在x轴上、下两部分的图象上时，□ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。（4分）
玉溪市2005年高中（中专）招生统一考试
数学试卷答案及评分标准
一、选择题：
1．C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A
二、填空题：
9. 10. ±12xy
11. ∠B＝∠D或∠C＝∠E或AC＝AE 12. 15
13. 1
14.
15.
30
16.外离
17.
18. 3858 19. 
20.
三、解答题：
21．解：原式＝2＋1－3 ………………………………（做对一个部分得1分）（3分）
＝0 ……………………………………………………………（4分）
22. 解：
23．解：（1）图16能反映y与x之间的函数关系。……………………………………………（1分）
从图中可以看出存入的本金是100元。……………………………………………（2分）
一年后的本息和是102.25元。………………………………………………………（3分）
（2）设y与x之间的函数关系式为：y＝100·n％x＋100 …………………………（4分）
把（1，102.25）代入上式，得
n＝2.25
∴y＝2.25x＋100 ……………………………………………………………（5分）
当x＝2时，y＝2.25×2＋100＝104.5（元）………………………………………（6分）
24．解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则张师傅的平均速度为（x－20）千米/时。
根据题意，得
………………………………………………………（3分）
去分母，整理，得 
………………………………………………………（4分）
经检验，都是所列方程的根，但
不符合题意，舍去。
∴ x＝100 ………………………………………………………（5分）
∴李师傅的最大时速是：100（1＋10％）＝110 …………………………………（6分）
∴李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法。 …………………（7分）
25.解：（1）当CE＝4时，四边形ABED是等腰梯形。…………1分
理由如下：
在BC上截取CE＝AD，连结DE、AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形。……………………2分
∴AE＝CD＝BD。
∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，
∴AB不平行于DE，
∴四边形ABED是梯形。 ……………………3分
∵AE∥CD，CD＝BD，
∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。
在△ABE和△DEB中，
∴△ABE≌△DEB （SAS）。
∴AB＝DE，
∴四边形ABED是等腰梯形。……………………5分
（也可不作辅助线，通过证明△ABD≌EDC而得AB＝DE）
（2）当C
＝6时，四边形ABD是直角梯形。……………………6分
理由如下：
在BC上取一点，使C＝B＝
＝6，连结D，
∵BD＝CD
∴D⊥BC
又∵B≠AD，AD∥B，
∴AB不平行于D …………………………………………7分
∴四边形ABD是直角梯形。………………………………8分
26．解：（1）样本容量：50 优秀率：34％ 频数：4 频率：0.18 …………每空1分，共4分
（2）中位数落在84－95.5这一分数段内。………………………………………………6分
（3）略。评分说明：只要选择了两个方面作答，分析合理 ……………………………8分
叙述准确，用语精练，体现用样本估计总体的思想。 ……………………………9分
27.解：（1）连结BC交OA于点E ……………………………1分
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AE⊥BC.
∴∠OEB＝90° ……………………………2分
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB＝90°.
∴∠DCB＝∠OEB.
∴CD∥AO. ……………………………3分
（2）∵CD∥AO，
∴∠3＝∠4.
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠BCD＝∠ABO＝90°.
∴△BDC∽△AOB. ……………………………4分
∴
，
∴
.
∴
……………………………5分
∴0＜x＜6 ……………………………6分
（3）由已知和（2）知 
…………………………… 8分
解这个方程组得：
…………………………… 9分
∴AB＝
. …………………………… 10分
28.解：（1）设的解析式为y＝
.
∵与x轴的交点A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，－4），
并且与关于x轴对称，
∴经过点A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）. …… 1分
∴y＝
.
………………………………… 2分
∴0＝4a＋4 得a＝－1，
∴的解析式为
.… ……………………… 3分
（2）设B（
）
∵点B在上，
∴B（
） …………………………… 4分
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称。
∴B、D关于原点O对称，
∴D（
）. …………………………………… 6分
将D（）的坐标代入：
可知 左边＝右边。
∴点D在上。 ……………………………………… 7分
（3）设□ABCD的面积为S，则S＝2×
.
（I）当点B在x轴上方时，
＞0，
∴
，它是关于的正比例函数且S随的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值。……………………………………… 8分
（II）当点B在x轴下方时，-4≤＜0.
∴
，它是关于的正比例函数且S随的增大而减小，
∴当＝－4时，S有最大值16，但它没有最小值。
此时B（0，－4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上。………………… 9分
∴AC⊥BD.
∴□ABCD是菱形。……………………………………10分
此时
. ……………………………………11分