哈尔滨市2004年初中升学考试数学试卷
第I卷 选择题（30分）（涂卡）
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1.下列各式正确的是（）
（A） （-a）2 = a2 （B） (-a)3 = a3 （C） -a2 = -a2 （D） -a3 = a3
2.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）
（A） 1cm，2cm，4cm （B） 8cm，6cm，4cm （C） 12cm，5cm，6cm （D） 2cm，3cm，6cm
3.不等式组 的整数是（）
（A） -1，0，1 （B） -1，1 （C） -1，0 （D） 0，1
4.已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B(n，m)在（）
（A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D） 第四象限
5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
（A）等边三角形 （B）等腰梯形 （C）平行四边形 （D） 正六边形
6.下列命题中，正确命题的个数是（）
①一个锐角的余角还是一个锐角；②垂直于半径的直线是圆的切线；
③一个数的算术平方根一定比这个数小；④平分弦的直径垂直于这条弦.
（A）0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
7.如图，已知：Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线BC为轴旋转一周得一个圆锥，则这个圆锥的表面积为（）cm2 .
（A）65π （B） 90π （C） 156π （D） 300π
8.若 2 = -a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）
（A）原点左侧 （B）原点右侧
（C）原点或原点左侧 （D）原点或原点右侧
9. ⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么认P为圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（）
（A）1或5 （B）1 （C）5 （D）1或4
10.直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个
（A）4 （B）5 （C）7 （D）8
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.2003年我国国内生产总值（GDP）为116694亿元，用四舍五入法保留三个有效数字，用科学记数法表示约为 亿元.
 | |||
 | |||
12.若 = ，则 = .
|
13.分解因式a2-2ab+b2-c2= .
14.函数y= + 中自变量x的取值范围是 .
15.如图，在RtΔABC,∠ACB=900, ∠A<∠B，CM是斜边AB的中线，将ΔACM沿直线
CM折叠，点A落在点C处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度.
16.如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE//AB，
的度数为400，则
∠BOC=
度.
17.观察下列等式9-1=8
16-4=12
25-9=16
|
…………
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为
.
18.反比例函数y=
（k是常数，k≠0）的图像经过点（a，-a），那么k 0（填“>”或“<”）.
19.一个多边形的每一个外角都等于360，则该多边形的内角和等于 度.
20.若⊙O的直径AB为2，弦AC为 ，弦AD为 ，则S扇形OCD（其中，2S扇形OCD<S⊙O）为
.
三、解答题（其中21题4分，22题5分，23题4分，24—25题各5分，26—28题各6分，29题9分，30题10分，共60分）
21.（本题4分）
 |  | ||
先化简 ÷（x-2+ ）再求值，其中x=tan450-cos300.
| C |
22.（本题5分）
用换元法解方程：x2+2x-2= .
23.（本题4分）
|
如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，
连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF.
求证：AB=2OF.
24.（本题5分）
如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是300和600.已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米.
求塔高AB.（答案保留根号）
25.（本题5分）
中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如下图，从左至右五个小组的频率之比依次是2：4：9：7：3，第五小组的频数是30.
（1）本次调查共抽测了多少名学生？
（2）本次调查抽测的数据的中位数应在哪个小组？说明理由.
（3）如果视力在4.9—5.1（含4.9、5.1）均属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？
 | |||
 | |||
26.（本题6分）
如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，O1O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，交⊙O2于点C，BE是⊙O1的直径，过点B作BF┴O1P，垂足为F，延长BF交PE于点G.
（1）求证：PB2=PG·PE；
（2）若PF=
，tan∠A=
，求：O1O2的长.
27.（本题6分）
“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元.
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完.请你帮助商场计算一下如何购买.
（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量.
28.（本题6分）
小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？
29.（本题9分）
如图：已知，△ABC内接于⊙O，弦BC所对的劣弧为1200，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE分别交AC于D，交AB于E，BD、CE相交于点F.
（1）求cot∠EFB的值；
（2）EF=DF；
（3）当BF=3EF，且线段BF、CF的长是关于x的方程x2-(2m+6)x+2m2=0(m>0)的两个实数根时，求AB的长.
30.（本题10分）
已知：抛物线y=- x2-(m+3)x+m2-12与x轴交于A(x1，0)、B（x2，0）两点，且x1<0，x2>0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D；
（3）过（2）中的点E的直线y=
x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M'、N'，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q.是否存在t值，使S梯形 MM'N'N：S△QMN=35：12，若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由.
哈尔滨市2004年初中升学考试数学试题
参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | B | C | B | D | B | B | C | A | C |
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.1.17×105；
12. 
； 13.(a-b-c)； 14.3<x≤5； 15.30；
16.70；
17.(n+2)2-n2=4(n+1)； 18.k<0； 19.1440； 20. 
或
者 .
三、解答题（其中21题4分，22题5分，23题4分，24—25题各5分，26—28题各6分，29题9分，30题10分，共60分）
21.解：原式= ………………………………………………（1分）
= …………………………………………………………………………………（1分）
x=tan450-cot300=1-
时，………………………………………………………………………（1分）
原式= = …………………………………………………………………………………（1分）
22.解：设x2+2x=y，则原式可化成y2-2y-3=0，………………………………………………………（1分）
解得y1=3，y2=-1……………………………………………………………………………… （1分）
当y=3时，x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1……………………………………………………（1分）
当y=-1时，x2+2x-3=0，解得x3= x4=-1………………………………………………………（1分）
经检验x1=-3，x2=1，x3= x4=-1都是原方程的根
∴原方程的根是x1=-3，x2=1，x3= x4=-1………………………………………………………（1分）
23.证明：连结BE
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|
|
∵四边形ABCD为平行四边形
| ||||
| ||||
∴AB CD，AO=OC…………………………………（1分）
| ||||
| ||||
∵CE=CD，∴AB CE，
∴四边形ABEC为平行四边形，………………… （1分）
|
∴BF=FC，………………………………………… （1分）
|
∴OF AB，即：AB=2OF.……………………… （1分）
24.解：由题意可知：EG、CD、30，
∵∠AEG=300，∠AGF=600 ∴∠EAG=300， ∴EG=AG=30…………………………………（1分）
在Rt△AFG中，sin600=
,……………………………………………………………………（1分）
∴AF=AG·sin600=30× =15 （米）……………………………………………………………（1分）
∴AB、AF+FB=（15 + ）米……………………………………………………………………（1分）
答：塔高AB为（15 + ）米.
……………………………………………………………… （1分）
25.解：（1）因为频率之比等于频数之比，
设第一小组的频数为2k，所以各组的频数依次为2k、4k、9k、7k、3k，
于是3k=30，所以k=10. ……………………………………………………………………………（1分）
所以2k=20，4k=40，9k=90，7k=70，所以20+40+90+70+30=250（人）.
答：本次调查共抽测了250名学生. ………………………………………………………………（1分）
（2）中位数应在第三小组. ………………………………………………………………………（1分）
∵250个数据的中位数是第125和第126两个数据的平均数，
前两个小组的频数之和是20+40=60，60<125
第三小组的频数是90，90+60=150，150>126,
∴中位数应在第三小组. ……………………………………………………………………（1分）
（3）∵视力在4.9—5.1范围内的人有70人，
∴频率=
=0.28，
∴全市初中生视力正常的约有40000×0.28=11200（人），
答：全市初中生视力正常的约有11200人. ………………………………………………………（1分）
26.（1）∵BE是⊙O1的直径， ∴∠BPE=900， ∵BF┴O1P，∴∠BPF+∠FBP=900，
∵∠GPF+∠BPF=900， ∴∠GPF=∠BPF，……………………………………………………（1分）
∵O1E= O1P， ∴∠E=∠GPF=∠PBF，
又∵∠BPG=∠EPB=900， ∴△GPB∽△BPE，
∴
，∴PB2=PE·PG. …………………………………………………………………（1分）
（2）∵AB是⊙O1的切线， ∴O1B┴AB， ∴△O1BF∽△O1AB， ∴∠O1BF=∠A，
∵tan∠A= , ∴tan∠O1BF= ,……………………………………………………（1分）
设O1F=3m，则BF=4m，由勾股定理得：O1B=5m=O1P， ∴PF=5m-3m=2m，
又∵PF= ，∴m= ，…………………………………………………………………………（1分）
∴O1B=O1P=
，∵tan∠A= ，BF=4m，∴AF= m，AP= m-2m= 
m= 
，
∴PO2= ，∴O1O2= + =5. ……………………………………………………………（1分）
27.解：（1）设甲种型号手机要购买x部，乙种型号手机购买y部，丙种型号手机购买z部，
根据题意，得：
………………（1分）
………………（1分）
答：有两种购买方法：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；或甲种手机购买20部，乙种手机购买20部. …………………………………………………………………………………（1分）
（2）根据题意，得：
………………………………………（1分）
解得：
………………………………………………（1分）
答：若甲种型号手机购买26部手，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买8部；
若甲种型号手机购买27部手，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部；
若甲种型号手机购买28部手，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部；
………………………………………………………………………………………………… （1分）
28.解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米.………… （1分）（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），
代入得：y=15x-15，（2≤x≤3）…………………………………………………………（1分）
当x=2.5时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家22.5千米. ………（1分）
（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，
由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)……………………………（1分）
过A、B两点的直线解析式为y=k3x，∵B（1，15） ∴y=15x.(0≤x≤1) ………（1分）
分别令y=12，得x= （小时），x=
（小时）.
答：小明出发 小时或 小时距家12千米. ………………………………………………（1分）
29.解：（1）∵
为1200，∴∠A=600，∴∠ABC+∠ACB=1200，……………………………………（1分）
∵BD、CE平分∠ABC和∠ACB，∴ ∠ABC+ ∠ACB=600=∠BFE，
∴cot600= . ………………………………………………………………………… （1分）
（2）作∠BFC的平分线FM交BC于点M，
则∠BFM=∠CFM=600，
在△BFM与△BFE中，
∴△BFM≌△BFE中，……………………………（1分）
∴MF=EF.
同理可证：△CFM≌△CDF，…………………… （1分）
∴MF=DF，∴EF=DF，…………………………… （1分）
（3）设EF=k，则BF=3k，在BF上截取FN=EF=k，
则BN=2k，△FEN为等边三角形，
∴EN=EF=k，∴∠BNE=1200，∴△BNE∽△BFC，
∴
，∴CF= ，……………………………………………………………（1分）
∵BF、CF的长是方程x2-(2m+6)x+2m2=0的两个实数根，由根与系数的关系可知：
BF+CF=3k+ =2m+6， BF·CF= =2m2，
联立，消去k得5m2-24m-36=0，解得：m1=6,m2=- , ∵m>0, ∴m=- (舍). ……（1分）
当m=6时，方程为x2-18x+72=0,解得：x1=12=BF,x2=6=CF, ∴EF=4.
过点E作EH┴BF于H，则FH=2，由勾股定理得：EH=
，BH=12-2=10，
由勾股定理得：BE=
，…………………………………………………（1分）
∵△BFE∽△BAD，∴
，
∴AB=
. ……………………………………………………（1分）
30.解：（1） ∵x1<0,x2>0, ∴OA=x1,OB=x2,
∵x1,x2是方程 - x2-（m+3）x+m2-12=0的两个实数根，
由根与系数关系得：x1+x2=-2（m+3）①x1·x2=-2(m2-12) ②x2=-2x1③………… （1分）
联立，整理，得：m2+8m+16=0，解得：m1=m2=-4，……………………………… （1分）
∴抛物线的解析式为y=- x2+x+4. ……………………………………………………（1分）
（2）设点E（x,0），则OE=-x，
∵△ECO与△CAO相似，
∴
∴
∴x=-8
∴点E（-8,0），…………………………………（1分）
设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′
由题意得：
所以直线EC的解析式为：y= x+4……… （1分）
∵抛物线的顶点D（1，
），当x=1时，y= ，
∴点D在直线EC上. ………………（1分）
（3）存在t值，使S梯形MM′N′N：S△QMN=35：12. ………………（1分）
∵E（-8,0），∴0=
×（-8）+b，∴b=2，
∴y= x+2, ∴x=4(y-2),
∴y=- ×[4(y-2)]2+4(y-2)+4,整理得：8y2-35y+6=0,设M（xm,ym）、N(xn,yn),
∴MM′=ym，NN′=yn, ∴ym、yn是方程8y2-35y+6=0的两个实数根，
∴ym+yn=
，……………………………………………………………………………（1分）
∴S梯形MM′N′N= (ym+yn)(xn-xm),
∵点P在直线y= x+2上，点Q在（1）中抛物线上
∴点P（t, +2）、点Q（t, -
t2+t+4）,
∴PQ=- t2+t+4-
t-2=- t2+ t+2,
分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为G、H，则GM=t-xm，NH=xn-t,
∴S△QMN= S△QMP+S△QNP= PQ(xn-xm),
∵S梯形MM′N′N:S△QMN=35:12
∴ …………………………………………………………… （1分）
∴
（- t2+ t+2）,
整理，得：2t2-3t-2=0，解得：t1=- ,t2=2,
∴当t=- 或t=2时，S梯形MM′N′N:S△QMN=35:12. …………………………………………（1分）
注：有不同于本评分标准的正确答案，可按相应的解题步骤给分.