兰州市2005年中考试题（数学）
一、选择题（本题共１２个小题，每小题３分，共计３６分。每小题所列的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。请将符合题目要求的选项的序号字母填写在相应小题后面的括号内。）
１．函数ｙ＝
的自变量ｘ的取值范围是（ ）
Ａ．ｘ≥１且ｘ≠２ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ＞１且ｘ≠２ Ｄ． 全体实数
２．已知ｍ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ２－ｍ的值等于（ ）
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
３．如果ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２３００＝１那么锐角α的度数是（ ）
Ａ．１５０ Ｂ．３００ Ｃ．４５０ Ｄ．６００
４．已知⊙Ｏ的半径ＯＡ＝６，扇形ＯＡＢ的面积等于１２π，则弧AB所对的圆周角的度数是（ ）
Ａ．１２００ Ｂ．９００ Ｃ．６００ Ｄ．３００
５．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 满足ｋｂ＞０且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
６．已知实数ｘ满足
，那么
的值是（ ）
Ａ．１或－２ Ｂ．－１或２ Ｃ．１ Ｄ．－２
７．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－2（Ｒ＋ｒ）ｘ＋ｄ２＝０没有实数根，其中Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是（ ）
Ａ．外离 Ｂ．相交 Ｃ．外切 Ｄ．内切
８．如图１是某报记者在抽样调查了一些市民八小时以外用于读书的时间（单位：分钟）后，绘制的频率分布直方图，图中从左向右的前六个长方形的面积之和为０．９５２００～２３０分钟这一组的频数是１０，此次抽样的样本容量是（）
Ａ．１００
Ｂ．２００ Ｃ．５００ Ｄ．１０
９．扇形的半径为３０ｃｍ，圆心角为１２００，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）
Ａ．１０ｃｍ Ｂ．２０ｃｍ
Ｃ．１０πｃｍ Ｄ．２０πｃｍ
１０．如图３把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）
１１．一束光线从点Ａ（３，３）出发，经过ｙ轴上点Ｃ反射后经过点Ｂ（１，０）则光线从Ａ点到Ｂ点经过的路线长是（ ）
Ａ．４
Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
１２．四边形ＡＢＣＤ为直角梯形，ＣＤ∥ＡＢ，ＣB⊥ＡＢ且ＣＤ＝ＢＣ＝
ＡＢ，若直线Ｌ⊥ＡＢ，直线Ｌ截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为ｙ，点Ａ到直线Ｌ的距离为ｘ，则ｙ与ｘ关系的大致图象为（ ）
二、填空题（每小题２分，共１６分，请把答案填在题中的横线上）
１３．在实数范围内分解因式：ｘ２＋ｘ－１＝＿＿＿＿＿
１４．锐角Ａ满足２ｓｉｎ(Ａ－１５０)＝
则∠Ａ＝＿＿＿＿
１５．某公司成立３年以来，积极向国家上交利税，由第一年的２００万元，增长到８００万元，则平均每年增长的百分数是＿＿＿＿
１６．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径。假设钢珠的直径是１２毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为９毫米，如图６所示，则这个小孔的直径ＡＢ是＿＿＿＿毫米
１７．一条抛物线的对称轴是ｘ＝１且与ｘ轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是＿＿＿（任写一个）
１８．如图７，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，⊙Ｏ交ＢＣ于Ｄ，过Ｄ作⊙Ｏ的切线ＤＥ交ＡＣ于Ｅ，且ＤＥ⊥ＡＣ，由上述条件，你能推出的正确结论有：＿＿＿＿＿ 
（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，至少写出４个结论，结论不能类同）
１９．观察下列等式（等式中的“！”是一种数学运算符号），１！＝１，２！＝２×１，３！＝３×２×１，４！＝４×３×２×１，…计算：
＝＿＿＿＿＿
２０．已知函数ｙ＝－ｋｘ(ｋ≠０)与ｙ＝
的图象交于Ａ、Ｂ两点，过点Ａ作ＡＣ垂直于ｙ轴，垂足为点Ｃ，则△ＢＯＣ的面积为＿＿＿＿
三、作图题（本题满分５分，要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
２１．要修一段半径为ｒ的圆弧弯道公路AC与公路ＡＢ在Ａ点连接，并且在ＡＢ的右侧。在图上画出H弧AC
A
B
四、解答题（本大题满分６３分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
２２．（本题满分６分）
已知ｘ＝３是方程
的一个根，求ｋ的值和方程其余的根
２３．（本题满分６分）解方程组：
２４.（本题满分６分）
如图９某海关缉私艇巡逻到达Ａ处时接到情报，在Ａ处北偏西６００方向的Ｂ处发现一艘可疑船只正以２４海里／时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西４５０的方向快速前进，经过１小时的航行，恰好在Ｃ处截住可疑船只，求该艇的速度（结果保留整数
，
≈２．４４９，
≈１．７３２
≈１．４１４）
２５．（本题满分６分）
如图１０在内切的两圆中，设Ｃ为小圆的圆心，Ｏ为大圆的圆心，Ｐ为切点，⊙Ｏ的弦ＰＱ和⊙Ｃ相交于Ｒ，过点Ｒ作⊙Ｃ的切线与⊙Ｏ交于Ａ、Ｂ两点，求证：Ｑ是弧AB的中点
２６．（本题满分８分）
有一种计算机控制的线切割机床，它可以自动切割只有直线和抛物线组成的零件，工作时只要先确定零件上各点的坐标及线段与抛物线的关系式作为程序输入计算机即可。今有如图１１所示的零件需按Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ的路径切割，请按下表将程序编完整。
| 线段或抛物线 | 起始坐标 | 关系式 | 终点坐标 |
| 抛物线APB | |||
| 线段BC | （1，0） | X=1 | （1，-1） |
| 线段CD | （1，-1） | ||
| 线段AD | （1，0） |
２７．（本题满分８分）
王兰、李州两位同学初三学年１０次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数取０）分别如图１２所示，利用图中提供的信息，解答下列问题
（１）完成下表：
（２）如果将９０分以上（含９０分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是＿＿＿＿
（３）根据图表信息，请你对这两位同学各提一条学习建议
２８．（本题满分７分）
如图１３已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝６，ｃｏｓＢ
＝
点Ｏ在边ＡＢ上，⊙Ｏ过点Ｂ且分别与边ＡＢ、ＢＣ交于点Ｄ、Ｅ，且ＥＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，设ＯＢ＝ｘ，ＣＦ＝ｙ
（１）求证：直线ＥＦ是⊙Ｏ的切线
（２）求ｙ关于ｘ的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）
２９．（本题满分８分）如图１４，已知正三角形的边长２ａ
（１）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积
（２）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？
（３）将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？
（４）已知正ｎ边形的边长为２ａ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积
３０．（本题满分８分）
已知二次函数ｙ＝ａｘ２－４ａ图像的顶点坐标为（０，４）矩形ＡＢＣＤ在抛物线与ｘ轴围成的图形内，顶点Ｂ、Ｃ在ｘ轴上，顶点Ａ、Ｄ在抛物线上，且Ａ在Ｄ点的右侧，
（１）求二次函数的解析式
（２）设点Ａ的坐标为（ｘｙ）试求矩形ＡＢＣＤ的周长Ｌ与自变量ｘ的函数关系
（３）周长为１０的矩形ＡＢＣＤ是否存在？若存在，请求出顶点Ａ的坐标；若不存在，请说明理由。
数学试题答案
１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ａ
７．Ａ ８．Ｂ ９．Ａ １０．Ｃ １１．Ｂ
１２．Ａ
１３．ｘ－ｘ－＝ｘ＋ｘ＋
１４．７５０ １５．１００％
１６．６ １７．ｙ＝－ｘ２＋２ｘ－１
１８．∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＤ＝ＣＥＤ＝９００ＡＤＥ∽ＡＢＤ，∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，ＤＥ２＝ＣＥ·ＥＡ，ＡＤ２＝ＡＥ·ＡＣ＝ＡＥ·ＡＢ，ＣＤ２＝ＣＥ·ＣＡ，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＣＤ＝ＢＤ，…
１９．９９００ ２０．２
２１．∴即为所求
２２．解：由题意得２＋＝１
∴ｋ＝－３ －＝１
方程两边都乘以ｘｘ＋２，约去分母得
１０ｘ－３ｘ＋２＝ｘｘ＋２
整理得ｘ２－５ｘ＋６＝０
ｘ１＝２ｘ２＝３
检验：ｘ＝２时，ｘｘ＋２＝８≠０
∴２是原方程的根
ｘ＝３时，ｘｘ＋２＝１５≠０
∴３是原方程的根 ∴原方程的根为
ｘ１＝２ｘ２＝３
２３．解：由②得ｙ＝２ｘ－１③
把③代入①得ｘ２－４２ｘ－１２＋ｘ＋３２ｘ－１－１＝０
１５ｘ２－２３ｘ＋８＝０
ｘ１＝１ｘ２＝
把ｘ１＝１代入③，得ｙ１＝１
把ｘ２＝代入③得ｙ２
∴原方程的解为
２４．解：如图所示，在ＲｔＡＤＣ中，∠ＤＡＣ＝４５０
∴设ＡＤ＝ＤＣ＝ｘ（海里），则
ＡＣ＝ｘ 海里
在ＲｔＡＤＢ中，∠ＡＤＢ＝９００∠ＤＡＢ＝６００
∴∠Ｂ＝３００ ∴ＢＤ＝ＡＤ
即２４＋ｘ＝ｘ
∴ｘ＝１２＋１
∴ＡＣ＝·１２＋１
＝１２＋ ≈４６（海里）
∴Ｖ＝＝４６（海里／时）
答：该艇的速度约为４６海里／时
２５．证明：连结ＯＣ并延长，则延长线必须经过切点Ｐ
ＣＰ＝ＣＲ∠Ｐ＝∠ＣＲＰ
ＯＰ＝ＯＱ∠Ｐ＝∠Ｑ
∠ＣＲＰ＝∠ＱＣＲ ＯＱ
ＡＢ与⊙Ｏ相切于点ＲＣＲ⊥ＡＢＯＱ⊥ＡＢ
ＯＱ过圆心Ｏ Ｑ是的中点
２６．
２７．（１）
（２）李州
（３）王兰应加强综合知识的测练，提高优秀率，李州应加强对某些单元的基础知识的训练，全面发展
２８．（１）证明：连结ＯＥ、ＤＥ
ＡＢ＝ＡＣ∠Ｂ＝∠Ｃ
ＯＢ＝ＯＥ∠Ｂ＝∠ＯＥＢ ∠Ｃ＝∠ＯＥＢ
ＯＥ ＡＣ
ＥＦ⊥ＡＣ
ＥＦ⊥ＯＥ
ＥＦ过半径ＯＥ的外端Ｅ
ＥＦ是⊙Ｏ的切线
（２）解：过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ，垂足为Ｇ
ｃｏｓＢ＝＝ ∴ ＢＧ＝ ＡＢ＝２
∵ＡＢ＝ＡＣ∴ ＢＣ＝２ＢＧ＝４
∵ＯＢ＝ｘ∴ＢＤ＝２ｘ
∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＤＥＢ＝９００
∵ｃｏｓＢ＝＝，∴ＢＥ＝ｘ
∴ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝４－ｘ
∵ＢＤＥ∽ＣＥＦ
∴＝
即＝
∴ｙ＝－ｘ＋
２９．解：１设正三角形ＡＢＣ的中心为Ｏ，ＢＣ切⊙Ｏ于点Ｄ连结ＯＢ、ＯＤ，则ＯＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＢＣ＝ａ
则Ｓ圆环＝π·ＯＢ２－π·ＯＤ２＝πＯＢ２－ＯＤ２
＝ＢＤ２·π＝πａ２
２只需测出弦ＢＣ的长（或ＡＣ，ＡＢ）
（３）结果一样，即Ｓ圆环＝πａ２
（４）Ｓ圆环＝πａ２
３０．解：（１）由题意得－４ａ＝４ ∴ａ＝－１
∴二次函数的解析式为ｙ＝－ｘ２＋４
２设点Ａ（ｘｙ）
∵点Ａ在抛物线ｙ＝－ｘ２＋４上
∴ｙ＝－ｘ２＋４则
ＡＤ＝２ｘ，ＡＢ＝－ｘ２＋４
∴Ｌ＝２（ＡＤ＋ＡＢ）＝２（２ｘ－ｘ２＋４）＝
－２ｘ２＋４ｘ＋８０＜ｘ＜２
３当Ｌ＝１０时 －２ｘ２＋４ｘ＋８＝１０
ｘ２－２ｘ＋１＝０ ｘ１＝ｘ２＝１
∴当ｘ＝１时，ｙ＝－１２＋４＝３
∴存在周长为１０的矩形ＡＢＣＤ，且点Ａ的坐标为（１，３）