湖北省荆门市2005年初中升学考试

数　学　试　题

（总分120分，考试时间120分钟）

一、选择题、（本大题有10个小题，每小题2分，共20分）

1.下列计算结果为负数的是（　　）

A、（－3）⁰　　B、－｜－3｜　　　C、（－3）²　　D、（－3）^－2

2. 下列计算正确的是（　　　）

A、a²·b³＝b⁶　　B、(－a²)³＝a⁶　　C、（ab）²＝ab²　　D、（－a）⁶÷（－a）³＝－a³　

3.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）

A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限

4.用一把带有刻度的直角尺，⑴可以画出两条平行线；⑵可以画出一个角的平分线；⑶可以确定一个圆的圆心.以上三个判断中正确的个数是（　　）

A、0个　　　B、1个　　　C、2个　　　D、3个

5.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y(cm)与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（　　）

6.在的Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA＝　（　　）

A、　　B、　　C、　　D、　24

7.有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AC与BC交于点F（如下图），则CF的长为（　　）

A、0.5　　B、0.75　　C、1　　D、1.25

8.钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为　（　　　）

A、90°　　　B、82.5°　　　C、67.5°　　D、60°

9.已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10cm，PB＝5cm，则⊙O的半径长为（　　）

A、　15cm　　B、10 cm　　C、7.5 cm　　D、5 cm

10.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是（　　）

住院医疗费（元）	报销率（%）
不超过500元的部分	0
超过500～1000元的部分	60
超过1000～3000元的部分	80
……

A、1000元　　　B、1250元　　C、1500元　　　D、2000元

二、真空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，请将答案直接填写在题后的横线上）

11.在数轴上，与表示－1的点距离为3的点所表示的数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

12.已知数据：1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为＿＿＿＿＿.

13.多项式x²＋px＋12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）

14.某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2且为整数）应收费＿＿＿＿＿元.

15.不等式组　的解集为＿＿＿＿＿＿＿.

16.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝＿＿＿＿＿＿＿.

17.在平面直角坐标系中，入射光线经过y轴上点A（0，3），由x轴上点C反射，反射光线经过点B（－3，1），则点C的坐标为＿＿＿＿＿.

18.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图所示）则需塑料布y(m²)与半径R(m)的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

19.已知直角三角形两边x、y的长满足｜x²－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

20.在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践活动中，春华同学为了锻炼自己，他通过了解市场行情，以每件6元的价格从批发市场购进若干件印有2008北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销，当销售完30件之后，销售金额达到300元，余下的每件降价2元，很快推销完毕，此时销售金额达到380元，春华同学在这次活动中获得纯收入＿＿＿＿＿元.

三、解答题（本大题有8个小题，共70分）

21.（本题满分6分）先化简后求值：其中x＝2

22.（本题满分6分）

为了测量汉江某段河面的宽度，秋实同学设计了如下图所示的测量方案：先在河的北岸选一定点A，再在河的南岸选定相距a米的两点B、C（如图），分别测得∠ABC＝α，∠ACB＝β，请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD.（结果用含a和含α、β的三角函数表示）

23.（本题满分8分）

青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图：

分　组	频　数	频　率
3.95～4.25	2	0.04
4.25～4.55	6	0.12
4.55～4.85	25
4.85～5.15
5.15～5.45	2	0.04
合　计		1.00

请你根据给出的图表回答：

⑴填写频率分布表中未完成部分的数据，

⑵在这个问题中，总体是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，样本容量是＿＿＿＿＿＿＿.

⑶在频率分布直方图中梯形ABCD的面积是＿＿＿＿＿＿.

⑷请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

24.（本题满分8分）

已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长.

⑴k取何值时，方程在两个实数根；

⑵当矩形的对角线长为时，求k的值.

25.（本题满分10分）

已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF

⑴求证：AB＝AC；

⑵若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长.

26.（本题满分10分）

在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，

⑴在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；

⑵在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；

⑶在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置

⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.

27.（本题满分10分）

某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.

⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？

⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

28.（本题满分12分）

已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，

⑴求m的值及抛物线顶点坐标；

⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；

⑶在条件⑵下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

湖北省荆门市2005年初中升学考试

数学参考答案及评分说明

一、选择题（每小题2分，共20分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	B	D	C	D	B	A	C	B	C	D

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.－4或2（答对一个得1分）；12.；13.±7，±8，±13（写出其中一个即可，正确写出多个者不扣分，其中如有1个错误记0分）；14.0.5n＋0.6（不化简不扣分）；15.－5＜x≤－4；16.135°；17.（－，0）；18.y＝30πR＋πR²； 19.2或或（填对一个得1分）；20.140；

三、解答题（共70分）

21.解：原式＝　　……………………2分

　　　　　 ＝　　　　　　　　……………………4分

　　　　　当x＝2　时，原式＝　……6分

22.解法一：∵cotα＝　，∴BD＝AD·cotα　……………………2分

　　　　　同理，CD＝AD·cotβ　　　　　　　　……………………3分

　　　　　∴ AD·cotα＋AD·cotβ＝a　　　　　……………………4分

　　　　　∴ AD＝　（米）　　　　……………………6分

　　解法二：∵tanα＝　，∴BD＝　　……………………2分

　　　　　　同理，CD＝　　　　　　　　……………………3分

　　　　　　∴＋＝a　　　　　　……………………4分　　

　　　　　　∴AD＝　（米）　　……………………6分

23.本题有4个小题，每小题2分，共8分）

⑴第二列从上至下两空分别填15、50；第三列从上至下两空分别填0.5、0.3（每空0.5分）　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………………2分

⑵500名学生的视力情况，50（每空1分）………………………………2分

⑶0.8　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………………2分

⑷本题有多个结论，只要是根据频率分布表或频率分布直方图的有关信息，并且用样本估计总体所反映的结论都是合理的.例如，该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人；该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等，各有20人左右等. 　　　　　　　　　　　………………………………2分

24.解⑴　要使方程有两个实数根，必须△≥0，

　　　　即≥0　　………………………………1分

　　　　化简得：2k－3≥0　　　　　　　　………………………………2分

　　　　解之得：k≥　　　　　　　　　　………………………………3分

　　⑵　设矩形的两邻边长分别为a、b，则有

　　　　

　　　　解之得：k₁＝2，k₂＝－6　　　　　　………………………………7分

　　由⑴可知，k＝－6时，方程无实数根，所以，只能取k＝2　……………8分

25.　⑴　证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3　………………2分

　　　　　　　 ∴∠ABC＝∠4　　　　　　………………………………3分

　　　　　　　 ∴AB＝AC　　　　　　　　………………………………4分

　　　⑵　∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，

∴△ABD∽△AEB　　　　　　　………………………………6分

∴　　　　　　　　………………………………8分

∵AB＝AC＝3，AD＝2

∴AE＝

∴DE＝　（cm）　　………………………………10分

26.解：⑴　方法一：∠B＝90°，中位线EF，如图示2－1.

　　　　　方法二：AB＝AC，中线（或高）AD，如图示2－2.

　　　⑵　AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位线EF，如图示3.

　　　⑶　方法一：∠B＝90°且AB＝2BC，中位线EF，如图示4－1.

　　　　　方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°，中线（或高）AD，如图示4－2.

　　　⑷　方法一：不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB＝∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－1.

　　　　　方法二：不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF＝GB，连结EF，则EF为剪切线.如图示5－2.

　　　　　方法三：不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，连结AG，过AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－2.

27.解：⑴设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x＋15）个，依题意有

　　　　　　………………………………2分

　　　　解之得：x₁＝45，x₂＝－90（不合题意，舍去）…………3分

　　　　答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个。　……4分

　　　⑵解法一：

①若单独租用中巴车，租车费用为×350＝2100（元）　　……5分

　　　　②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400＝2000（元）……6分

　　　　③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有

45y＋60（y＋1）≥270　　…………………………………………7分

解得y≥2，当y＝2时，y＋1＝3，运送人数为45×2＋60×3＝270合要求

这时租车费用为350×2＋400×3＝1900（元）　………………9分

故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元.………………………10分

解法二：①、②同解法一

③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有

　350y＋400（y＋1）＜2000

解得：。故y＝1或y＝2

以下同解法一.（解法二的评分标准参照解法一酌定）

28.解：

　⑴由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.

　　设A（x₁，0），B（x₂，0）.则有x₁·x₂＝3m　…………………………1分

又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴　…………2分

∴，即x₁·x₂＝－m²　

∴－m²＝3m，解得　m＝0　或m＝－3　

而m＜0，故只能取m＝－3　　　………………………………………………3分

这时，

故抛物线的顶点坐标为（，－4）　　……………………………………4分

⑵解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），

C（0,－3），D（0， 3）　……………………………………………………5分

∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE

∵DE是⊙M的直径，

∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，

∴E点的坐标为（2，－3）　……………………………………………6分

∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，

∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE

∵AC⊥CB，∴CB⊥DE

又FG⊥DE，　　∴FG∥CB　　　……………………………………………7分

由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：

y＝－3　　　　　　　……………………………………………8分

可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5

故直线FG的解析式为y＝－5　…………………………………9分

解法二：令y＝0，解－3＝0得

x₁＝－，x₂＝3

即A（－，0），B（3，0）

根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2，　 M（，0）

在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3

∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。

而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC

∵DE⊥FG，　∴BC∥FG

∴∠EFM＝∠CBO＝30°

在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，

∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，

∴F点的坐标为（5，0）

在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×＝5

∴G点的坐标为（0，－5）

∴直线　FG的解析式为y＝－5　（解法二的评分标准参照解法一酌定）

⑶解法一：

存在常数k＝12，满足AH·AP＝12　　　　　　　…………………………10分

连结CP

由垂径定理可知，

∴∠P＝∠ACH

（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）

又∵∠CAH＝∠PAC，

∴△ACH∽△APC

∴　即AC²＝AH·AP　　　………………………………………11分

在Rt△AOC中，AC²＝AO²＋OC²＝（）²＋3²＝12

（或利用AC²＝AO·AB＝×4＝12

∴AH·AP＝12　　　…………………………………………………12分

解法二：

存在常数k＝12，满足AH·AP＝12

设AH＝x，AP＝y

由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP

即

化简得：xy＝12

即　AH·AP＝12　　（解法二的评分标准参照解法一酌定）