中考数学辅导之—圆

本次我们一起来复习几何的最后一章——圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.

一、基本知识和需说明的问题:

　　(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.

　　1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.

应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.

2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.

3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.

4.圆内接四边形的性质:略.

　　(二)直线和圆的位置关系

　　1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)

2.切线的判定有两种方法.

①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.

②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.

3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.

连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.

4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意,　　　　　　　　　　 A

图形中有射影定理的基本图形.

　　　　　　　　　　　　　　　　  O　 D　　　 P

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B

5.弦切角是与圆有关的第三种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等.

6.和圆有关的比例线段：理解定理,会用.

 (三)圆和圆的位置关系

　　1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.

2.相交两圆,添加公共弦,通过公式弦将两圆连结起来.

　相切两圆,添加公切线,利用两圆的公切线将两圆连结起来.

3.公切线的长的计算

　　　　　　　　　　　  A　　　　 B

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 L

　　　　　　　　　　 O₁　　　　　  O₂ R-r

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d

外公切线：

两圆半径差R-r,公切线的长L分别是Rt△的两直角边，圆心距d是斜边.

内公切线：　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 R+r　　　 l

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 d

两圆半径和R+r,内公切线L和圆心距d构成直角三角形.

可围绕这个三角形的三边进行计算.

(四)正多边形和圆

　　注意:公式的应用

　　1.已知R,求边长,求边心距

若已知边长,求边心距,可先利用求出半径,再利用,求边心距.

如已知正三角形的边长是,求边心距.

解:∵　∴

2.同圆的内接正n边形和外切正n边形的边长、半径、边心距、周长之比是cos.

如同圆内接正六边形和外切正六边形的面积之比是.

3.弧长公式

扇形面积公式

要求熟练应用公式,如怎样利用圆心角、半径求弧长或扇形面积,怎样利用弧长和圆心角求半径.

二、本次练习:

(一)填空题:

1.已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC于E,CE=1,AB=10,则OC=______.

2.AB是弦,OA=20cm,∠AOB=120°,则S△AOB=______.

3.　　　　　  在⊙O中,弦AB,CD互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O的直径是______.

4.在⊙O中弦AB,CD互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB与CD之间的距离是17cm,则⊙O的半径是______cm.

5.圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB的中点到弦AB的中点的距离是______cm.

6.在⊙O中,半径长为5cm,AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离是______cm.

7.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:6,则四边形的最大角是______度.

8.在直径为12cm的圆中,两条直径AB,CD互相垂直,弦CE交AB于F,若CF=8cm,则AF的长是______cm.

9.已知PA切⊙O于点A,PA=4cm,PCD是割线,PC=CD,若CD垂直平分半径OF,则⊙O的半径OF=______.　　　　  D　　 F

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　  　　　　　 O　　　C

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  P

　　　　　　　　　　　　　　　　　 A

　10.已知CD切⊙O于D,割线CBA交⊙O于B,A,且CBA过O点,切线BE交CD于E点,若DE:EC=1:2,则AC:CD=______.

　　　　　　　　　　　　　　　　　 E　D

　　　　　　　　　　　　　　  C

　　　　　　　　　　　　　　　　B　　　O

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A

　11.已知:AB是⊙O的直径,P是AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,PB=4,AB=12,sin∠APC=,则CD=______.

　12.已知PA,PB分别切⊙O于A,B两点,AC是⊙O的直径,PC交⊙O于D点,∠APB=60°AB=cm,则AC=______cm,PD=______cm.

　13.两圆半径分别是4,12,外公切线长是15,两圆的位置关系是______.

　14.两圆相交于A,B,外公切线与两圆切于C,D,则∠CAD+∠CBD=______度.

　15.两圆半径分别是R,r,(R>r)内公切线互相垂直,则内公切线长是______,圆心距是______.

　16.两圆半径长是方程的两根,圆心距是2,则两圆的位置关系是______.

　17.如图:PT切⊙O于T,PAB是过圆心O的割线,如果PT=4,PA=2,则cosBPT等于______.

　　　　　　　　　　 O　　　B

　　　　　　　 A

　　　　　 P

　　　　　　　　  T

  18.已知CD是半圆的直径,AB⊥CD于B,设∠AOB=,则的值是______.　　　　 A

　　　C　　 O　B　 D

　19.正三角形的边长是,则内切圆与外接圆组成的环形面积是______.

　20.在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点是D,E,F.AD交BC交于G,若AC=3,CG=1,则⊙O的半径是______.

　　　　　　　　　　　 C

　　　　　　　　　 D　　 E

　　　　　　　　　　　　  G

　　　　　　　　　　 O

 

　　　 A　　　　　   F　　 B

　21.已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20,则扇形=______.

　22.边长是的正三角形的边心距是______.

　23.已知正六边形的半径是6,则该正六边形的面积是______.

(二)证明题:

1.已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE切⊙O于C,AD⊥CE,垂足是D,

求证:AC平分∠BAD.

　　　　　　　　　  B

　　　　　　　　 　　　 O

　　　　　　　　　　　　　　　 A

　　　　　　　　 E　　　 C　　D

2.已知AB是⊙O的直径,P是⊙O外一点,PC⊥AB于C,交⊙O于D,PA交⊙O于E,BE交PC于F点　　　　 

求证:CD²=CF·CP　　　　　　 P

　　　　　　　　　　 E　　 D

　　　　　　　　　　　　　 F

　　　　　　　　 A　　O　　C　B

　　　　　　　 

3.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径做⊙O,交BC于D,过D点做⊙O的切线交AC于E,连结BE交⊙O于F

求证: (1)OE⊥AC;　　　　　　　　　　

　　　(2)AE·EC=BE·EF　　　　　　　　 A

　　　　　　　　　　　　　　　　 O

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 F　 E

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　  B　　 D　　 C

4.已知PA是△ABC外接圆珠笔的切线,P是BC延长线上一点,

求证:PB:PC=AB²:AC².

　　　　　　　　　　　  A　　　 P

　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　 C

　　　　　　　　　　  B

5.已知AB是大圆直径,CE切⊙O于C,BC是小圆直径

求证:(1)DE∥AC;

　　 (2)DE·AC=2CD²;　　　　　　　　　 C

　　 (3)DE=36,cosCDE=　　　　　　　　  O’  E

　　　　求⊙O的半径.　　　　 A　　　O D　　B

6.已知⊙O₁和⊙O₂外切于点P,BH切⊙O₂于B,

C

求证:(1)△BCP∽△HAP　　　　　　　　　  H　　　　

　　 (2)若AP:PB=3:2,且C为　　　　　　　　　　　　　 B

　　　　HB中点,求HA:BC的值.　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 O₁　　　 O₂

　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  A

7.如图: ⊙O和⊙O₁,内切于P,PA,PB交　　　　　　　  P

  ⊙O₁于A,B,AB切⊙O于D,AD交⊙O_{1 　　　　　　　　 1 2}

　于E,AG切⊙O₁于A,AG,AD的延长线交于G,　　　 M　O　 N

　证明:(1)∠1=∠2;　　　　　　　　　　　　　　　 O₁ D　　 B

　　　 (2)PA·PB=PD·PE;　　　　　　　　　  A

　　　 (3)PA·PB=PD²+AD·BD;　　　　　　　　　　  E

　　　 (4)AB=2AH;　　　　　　　　　　　  　　 H

　　　 (5).

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  G

8.如图:AB是⊙O的直径,PB切⊙O　　　　　　　　  B

  于B,PA交⊙O于C,∠APB的平分　　 

　线分别交BC,AB于点D,E.交⊙O

　于点F,∠A=60°且线段AE,BD　的长　 F　　　E　　 D　　　　　　　 P

　是方程　　　　　  C

求证:(1)PA·BD=PB·AE;　　　　　　　　  A　　

　　 (2)⊙O的直径长为常数;

　　 (3)的值.

三、本期答案

(一)填空题:

　1.13　 2.　 3.　 4.13cm　 5.　 6.1或7cm　 7.135°

　8.　 9.　10.　 11.　 12.　 13.外离

　14.180°　 15.R+r,(R+r)　 16.内切　 17.　 18.1　 19.

　20.　 21.　 22.1　 23.54

(二)证明题:

　1.略　 2.连结AB,BD,由射影定理得CD²=AC·CB,再证△BCF∽△APC.

　3.(1)连结OD,则OD⊥DE,△OBD是等腰三角形,∠OBD=∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴OD⊥AC.

　　(2)由切割线定理得ED²=BE·EF,连结AD,由射影定理得DE²=AE·EC,∴AE·EC=BE·EF.

　4.△ACP∽△BAP   ∴

　5.(1)△ACB和△CDB都Rt△ ∴∠CAD=∠BCD=∠EDB ∴DE∥AC

(2)△ACD∽△CDF  ∴.

  6.(1)略　(2)设BP=,AP=,由割线定理得: ∵BH=2BC∴2BC²=　.由△ABH∽△AHP　　　∴　∴

　7.(1)(2)(3)略.(4)连结O,E交AB于F ∵∠1=∠2 ∴AE=BE,则O₁E⊥AB,O₁E平分AB ∴AB=2AF且∠AFE=Rt∠　△AEF≌△AEH　AH=AF ∴AB=2AH

　　(5)∵∠FAE= ∴

　8.(1)略.(2)∵AE,BD是方程的根,AE+BD=,∠BED=∠A+∠APE,∠BDE=∠DAP+∠BPE ∴∠BDE=∠BED BD=BE ∴AE+BE= ∴AB= AB是直径.

(3) △ABP是Rt△,　∴ 由(1)题结论 ∴ ∴,

BD=　　

∴