中考数学辅导之—函数及其图象

一、学习目标

1、　  能正确画出直角坐标系；并能在直角坐标系中，根据点的坐标找出点，由点求出点的坐标。

2、　  能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数；对简单的函数表达式，能确定自变量的取值范围，并会求出函数值。

3、　  能画出简单函数的图象；知道不仅可以用解析法，而且还可以用列表法和图象法表示函数。

二、教材简析

　　函数是数学中的重要概念之一，它使我们从研究不变的量，转化为研究变量之间的相依关系。函数不仅是一个重要的概念，也是一种很重要的数学思想方法。通过函数概念和图象的学习可以用几何图形来解析代数问题，使代数问题变得更形象、直观，便于理解，另一方面，也可以用代数方法来研究几何问题。

　　本章内容包括三个单元。第一单元是直角坐标系的初步知识，第二单元是函数及其图象，第三单元是常见的几种函数，包括一次函数(正比例函数)、二次函数、反比例函数及其图象。(本讲主要学习巩固第一、二单元，第三单元留待下学期复习)。

　　学习直角坐标系，建立有序实数与平面内的点的一一对应关系，为研究函数的图象作准备。学习函数概念，首先要了解常量、变量概念，用动态的观点来看问题。弄清函数的本质是具有某些特点的对应关系，抓住函数对自变量的依从关系就是函数与自变量的对应关系。函数关系中自变量的取值范围是函数存在的不可缺少的部分。

　　了解函数有三种表示方法，即解析法、列表法和图象法。能正确迅速地列表、描点并绘出函数图象，(以下为下学期内容)要逐步学会用图象总结函数的性质，由函数的性质能想象出表达式中自变量x与函数y的变化情况。

　　本章重点是函数的概念、函数解析式与图象性质的内在联系。能灵活地进行数与形之间的变换是难点。

三、本讲(即第一、二单元)的重点内容有

1、　掌握x轴、y轴上和四个象限内点的坐标的特征。

2、　懂得建立了平面直角坐标系，就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系，建立数与形之间的联系，初步了解数形结合思想。

3、　对函数概念的理解和自变量取值范围的确定。

4、　函数的三种表示方法及用描点法画函数图像。

四、基本内容及应注意的问题

1、　平面直角坐标系是以数轴为基础的，坐标平面内的点的坐标也是利用数轴上点的坐标来定义的。有关直角坐标系的概念比较多，学习时应紧密结合图形，不能死记硬背定义，看到一个概念，脑子里要能马上反映出相关的图形。如对“象限”的理解，关键在于结合直角坐标系，能指出各个象限的位置，进而明确坐标轴上的点不属于任何一个象限的真正含义。

2、　对于函数的意义，在初中阶段主要应领会两点：一是有两个变量，二是一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。

3、　关于函数自变量的取值范围问题，主要包含两个方面：一是自变量的取值使函数解析式有意义，这是常用的一个方面，也是以前学过的知识；二是自变量的取值使实际问题有意义，这一方面虽然用的不多，但需要对实际问题作具体分析，有一定难度。

4、　关于函数值的问题，可以和求代数式的值的问题联系起来，注意运算的熟练与准确程度。

5、　对于函数的三种常用的表示方法，应该有这样的认识：给出一种函数关系，根据需要，有时可以写出它的解析表达式，有时可以列出函数与其自变量的对应数值表，有时也可以画出它的图象；反过来，也可以用一个解析式，或一个反映两个变量的对应关系的数值表，或一个图象，来表示一个函数关系。

6、　关于函数图象的意义，要注意到是“把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标。”

五、例题

例1：若点P(3m-2,5-2m)在第二象限，求m的取值范围

解：∵点P(3m-2,5-2m)在第二象限

　　∴   3m-2＜0　　解得：m＜

　　 　　5-2m＞0

注：根据各象限内点的横纵坐标的特征列出两个不等式，组成不等式组即可求得。

例2：若A点坐标为(m,n)，它关于原点的对称点为A₁，而A₁关于x轴的对称点为A₂，且点A₂的坐标为(3,-4)，求m、n的值。

解：∵A点坐标为(m,n)

　　∴A点关于原点的对称点A₁的坐标为(-m,-n)，A₁点关于x轴的对称点A₂的坐标为(-m,n)

　又∵点A_2­的坐标为(3,-4)

　　∴ -m=3　　　　即：m=-3

　　　 n=-4　　　　　  n=-4

注：本题是按题意中的对称关系顺次由点A的坐标推得点A₂的坐标。由于点的轴对称和中心对称关系是相互的，所以本题也可由点A₂的坐标逆方向求点A的坐标，即：A₂(3,-4)→A₁(3,4)→A(-3,-4)→m=-3,n=-4

例3：已知点P(a,a-b)在第四象限，求：(1)Q(-a,b)所在象限。(2)若a=b，则P点和Q点在什么位置？

解：(1)∵P(a,a-b)在第四象限

　　　 ∴a＞0,且a-b＜0

　　　 ∴  b＞a＞0

　　　　　 -a＜0

则：Q(-a,b)在第二象限

(2)当a=b时，P、Q两点坐标可分别表示为

P(a,0)　 Q(-a,a)

又∵a＞0

∴P点在x轴正半轴上，Q点在第二象限角平分线上(原点除外)。

注：(1)因为P点在第四象限，横坐标a为正值，纵坐标a-b应为负值，所以b必大于a，也为正数；(2)当点的横、纵坐标相同时，该点在一、三象限角平分线上。而点的横、纵坐标互为相反数时，点必在二、四象限角平分线上。本例有前提P在第四象限a＞0，所以Q只能在第二象限角平分线上，且原点要除外。

例4：求下列各函数的自变量取值范围

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

解：(1)∵不论x取什么值，原函数都有意义

　　　 ∴x为全体实数

(2)要使函数有意义，必须使15-6x≥0

　 ∴x≤

(3)要使函数有意义，只须3x+5＞0，∴x＞-

(4)要使函数有意义，必须使  x+2≥0  ∴x≥-2且x≠3

　　　　　　　　　　　　 　 x-3≠0

(5)要使函数有意义，必须使  x-3≥0　即 　x≥3　 ∴x=3

　　　　　　　　　　　　 　 3-x≥0　　  x≤3

(6)要使函数有意义，必须使  3-2x≥0　 ∴x≤且x≠±1

　　　　　　　　　　　　 　 1-≠0

(7)要使函数有意义，必须使 　x≠0　　　　∴x≠0,x≠-1且x≠3

　　　　　　　　　　　　 　 x²-2x-3≠0

例5：如图，锐角中，BC=10，高AD=6，EFGH是它的内接矩形，设EF为x，EH为y.求y与x的函数关系式

分析：①学会在图中标注数据

　　　②EFGH是的内接矩形，本身隐含着EH∥BC这一条件

　　　③EH∥BC提供  ∽ 　

　　　　　　　　　　 ∽

　　　　即：，变形即得：

　　　④x是矩形一边EF的长度，因此0＜x＜6，这里x≠0且x≠6

　　　　因为x=0或x=6时矩形都不存在，也就失去了该题的实际意义了。

　　　　解：∵EFGH为矩形

　　　　　  ∴EH∥BC  ∽ 　

　　　　　　　　　　　　  ∽

　　　　　　　　　　　

　　　　　  ∴　　 (0＜x＜6)

注：对根据实际问题得到的函数关系，它的自变量取值不仅要使函数解析式有意义，而且还要使实际问题有意义，应根据实际问题的限制，确定自变量的取值范围。

例6：求，当x=12时的函数值

分析：实质上是当x=12时，求代数式的值。

解：当x=12时

　　

　　　＝

例7：当x为何值时，与y=1-x的函数值相等

分析：此题即x为何值时成立

解：当时

即：x²+x=0　　　　∴x₁=-1,x₂=0

经检验：x₁=-1，x₂=0都是原方程的根。

∴当x=-1或x=0时，两函数值相等。

六、练习及作业

（一）、选择题

1、　点M在第二象限，且M点到x轴距离为2，到y轴距离为3，则M点坐标是：

A、　(2,3)　　　　B、(3,2)　　　C、(-2,3)　　　　D、(-3,2)

2、　点P(m,-5)在第二、四象限夹角平分线上，则m的值为：

　　A、　　　　　 B、－　　　　C、5　　　　　  D、－5

3、　已知点A(5m-4,3-m)在第二象限，则m的取值范围是：

　　A、m＜3　　　 B、m＜　　  C、m＞3　　　　 D、＜m＜3

4、　已知点M(a,0)在x轴的负半轴上，则点N(1+a²,-a)在：

　　A、第一象限　　B、第二象限　　 C、第三象限　　  D、第四象限

5、　已知ab≠0，则坐标平面上四个点A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、D(-a,b)中关于x轴对称的点是：

A、　　A与B，C与D　　　　　　　 B、A与C，B与D　　

　　C、A与D，B与C 　　　　　　　 D、A与B，B与C

6、在下列函数中，与y=x-2图像完全相同的函数是：

A、　　　　　　　　　B、

　　 C、　　　　　　　  D、

（二）、填空题：

7、已知点P的坐标是(m-n,m+n)，则点P关于x轴的对称点坐标是______，点P 关于x轴的对称点坐标是______，点P关于原点的对称点坐标是______。

8、在x轴上的点_____坐标是零；在第四象限夹角的平分线上的点P坐标　　

　 为(m,n)，则m、n的关系是______。

9、以(4,0)为圆心，5为半径画一圆，则此圆与y轴的交点坐标为______。

10、把等腰三角形的一个底角的度数y表示成顶角度数x函数解析式是______，

　 自变量x的取值范围是______。

（三）、解答题：

11、求下面各函数中自变量取值范围

(1)

(2)

　 （3）

12、的两角的角平分线交于点D，设度数为y，度数

　 为x，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。

13、已知点M坐标为(-5,0)，点N在第三象限坐标为(x,y)且x+y=-6，设

　 面积为S。

(1)求S关于x的函数表达式

(2)求x的取值范围

(3)当S=10时，求N点坐标

七、答案及解题指导

　　1、D　　　 2、C　　　 3、B　　　 4、A　　　 5、B　　　 6、C

解题指导：

1、设M点坐标为(x₀，y₀)则由题意有x₀＜0，y₀＞0及，得x₀＝－3，y₀＝2。

2、第二、四象限夹角平分线上的点，其横坐标和纵坐标互为相反数，故m+(-5)=0得m=5。

3、由  5m-4＜0　　得m＜

　　　 3-m＞0

4、点(a,0)在x轴负半轴上，则a＜0，则-a＞0，又1+a²＞0,则点N(1+a²,-a)在第一象限。

5、关于x轴对称的点应横坐标相同，纵坐标相反，故为A(a,b)与C(a,-b)，B(-a,-b)与D(-a,b)。

6、y=x-2，自变量x可取任何实数，而取值范围是x≥2。与y=x-2是不同的解析式，，x≠－2，它们或是自变量的取值范围或是解析式不与y=x-2完全相同，只有，且x可取任何实数，故选C。

7、(m-n,-m-n)，(n-m,m+n)，(n-m,-m-n)。

8、纵，互为相反数

解题指导：第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，故m＞0,n＜0即m、n符号相反，又在第四象限角平分线上，横纵坐标绝对值相等，故，所以m、n互为相反数。

9、　(0，3)、(0，－3)

10、　　　　0＜x＜180

11、(1)x≥-1且x≠0　　 (2)x＞-3　　  (3)x＞1且x≠2

12、　　　　0＜x＜180

解题指导：即，(0＜x＜180)

13、(1)　　 (2) －6＜x＜0　　　(3)(-2,-4)

解题指导：点N(x,y)在第三象限，故x＜0，y＜0又

，因为x＜0，y＜0且x+y=-6，所以－6＜x＜0，－6＜y＜0，所以0＜6＋x＜6，所以=x+6，得(－6＜x＜0)。