中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系
从暑假开始,我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中的第六章解直角三角形.
一、基本内容
1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.
2.一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
3.解法:
①直接开平方法:形如x2=b(b≥0)和(x+a)2=b(b≥0)的形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得:
②配方法:例:
解:
此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式的推导用这种方法.
③公式法:
④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0的形式,变成两个一元一次方程来解.
4.根的判别式:△=b2-4ac
b2-4ac>0 方程有两个不相等实根.
b2-4ac=0 方程有两个相等实根.
b2-4ac<0 方程无实根.
b2-4ac≥0 方程有实根.
有三种应用:
①不解方程确定方程的根的情况.
②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等)
利用Δ建立不等式求m或k的取值范围.
③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
5.根与系数间的关系,某x1,x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则
.
应用:
①不解方程,求方程中m或k的值或另一根.
②不解方程,求某些代数式的值.
③利用两根的关系,求方程中m或k的取值范围.
④建立一个方程,使它与原方程有某些关系.
⑤一些杂题.
二、本次练习:
(一)填空题:
1.关于x的方程
是一元二次方程,则m=____.
2. 将方程4x2-kx+k=2x-1化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是____,常数项是____.
3.代数式(x+2)2+(x-2)2的值与8(x2-2)的值相等,则x=____.
4.
+( )=(x- )2
5.方程2x2+(k-1)x-6=0的一个根是2,则k=____.
6.已知方程3x2-2x-1=0的两根是x1,x2,则
=____;
=____;
=____;
=____;
=____.
7.已知2x2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.
8.以3和
为根的方程是____.
9.以
为根的方程是____.
10.以2x2-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是____.
11.以2x2-5x+1=0的两根平方根的方程是____.
12.以比3x2-2x-4=0的两根大3的数为根的方程是____.
13.以2x2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____.
14.已知8x2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m的取值范围是____.若它的两根互为相反数,则m=____.若m互为倒数,则m=____.
15.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的两根差的平方是16,则m=____.
16.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2=1有两个不相等实根,则k的取值范围是____.
17.关于x的方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k的取值范围是____.
18.已知方程kx2-2kx+k=x2-x+3有两个不相等实根,则k的取值范围是____.
19.关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0无实根,则k的最小整数值是____.
20.已知2x2+(2m+1)x-m=0的两根平方和是
,则m=____.
21.设x1,x2是关于x的方程x2+4k+3=0的两实根.y1,y2是关于y的方程y2-k2y+p=0的根.若x1-y1=2,x2-y2=2则k=____,p=____.
22.已知关于x的方程2x2+2x+c=0的根是x1,x2,则
,那么c的值是____.
(二)解下列方程
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
三、本期答案
(一)填空题
1.
2.-(k+2),k+1 3.
4.
5.0
6.
7.
8.3x2-7x-6=0
9.
10.4x2-x-39=0 11.4y2-21y+1=0 12.3y2-20y+9=0
13.2x2+3x-1=0 14.1<m<7 15.-3 16.
17.
18.
19.2 20.-3或1 21.k=-2,p=-9 22.-1
(二)解答题
1.
2.
3.
4.
5.
6.无解
7.x1=-2a,x2=2b 8.
9.
10.
11.2m+n,m-n