中考数学专题复习之六：数学的分类讨论思想

【中考题特点】：

分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

【范例讲析】：

例1：当m是什么整数时，关于x的方程：x²－2(m+1)x+m²+2=0，与方程⑵：x²+(2m－3)x+m²－7=0的根都是整数？

例2：已知直线y=－x+8和双曲线。

⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？

⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小。

例3：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。

⑴求证：△ABD∽△DCE；

⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长。

例4：已知平面直角坐标系内有两点A（－2，0）、B（4，0），点P在直线上，且△ABP为直角三角形。

⑴求点P坐标，并在图中直角坐标系内标出P点的位置；

⑵经过P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？

若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

例5：已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为－(a＞0〕

(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；

(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，问：当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-BM的值也为常数？

【练习】：

1．已知α、β是方程x²+x+a=0的两个实数根。求 a的取值范围；⑵试用a表示α+β。

2． 一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C（a，0）（a<0）使△ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数的解析式。

3．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出S与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。

4．已知抛物线y＝－5mx+4m² (m为常数). (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点；

　(2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.