中考模拟自测题
25．（本题满分12分）
如图，二次函数
（m<4）的图象与
轴相交于点A、B两点．
（1）求点A、B的坐标（可用含字母
的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数
的图象相交于点C，且
∠BAC的余弦值为
，求这个二次函数的解析式．
24．解：（1）当
，
，………………………………（1分）
，
．……………………………（2分）
∵
，∴A（–4，0），B（
，0）………………………………（4分）
（2） 过点C作CD⊥
轴，垂足为D，
cos∠BAC
,设AD=4k,AC=5k, 则CD=3k. ……………………（5分）
∵OA=4,∴OD=4k–4, 点C(4k–4,3k) . …………………………………（6分）
∵点C在反比例函数的图象上，∴
. ………………（7分）
. ……………………………（8分）
∴C(2，
).……………………（1分） ∵点C在二次函数的图象上，
∴
，………（1分） ∴
………………(10分)
∴二次函数的解析式为
. ……………………………（12分）
26．（本题满分14分）
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A—D—C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以
cm/s的速度向点A运动，⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？
26．解：（1）如图所示，设点O2运动到点E处时，⊙O2与腰CD相切．
过点E作EF⊥DC，垂足为F，则EF＝4cm．………………1分
方法一，作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足为H．
通过解直角三角形，求得EB＝GH＝
cm．………………4分
所以t＝（
）秒．………………6分
方法二，延长EA、FD交于点P．通过相似三角形，也可求出EB长．
方法三，连结ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t．
（2）由于0s<t≤3s，所以，点O1在边AD上．………………7分
如图所示，连结O1O2，则O1O2＝6cm．………………8分
由勾股定理得，
，即
．………………10分
解得t1＝3，t2＝6（不合题意，舍去）．………………12分
所以，经过3秒，⊙O1与⊙O2外切．………………14分
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25．（本题满分12分）
正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x,△ADQ的面积为y.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.
（3）画出这个函数的图象.
（4）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的
，若存在，求出BP的长，若不存在，说明理由.
25．解:（1）画出图形，设QC=z，由Rt△ABP~Rt△PCQ，
=
，
z=
，①
y=
×4×（4-z）,②
第25题图（1）
把①代入② y=x2-2x+8（0＜x＜4）.
（2）y=x2-2x+8=(x-2)2+6.
∴对称轴为x=2,顶点坐标为（2，6）.
(3)如图所示 第25题图（2）
(4)存在，由S△APB＝S△ADQ，可得y＝3x，
∴x2—2x+8＝3x，
∴x＝2，x＝8(舍去)，
∴当P为BC的中点时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的.
23．（14分）函数y=-
x-12的图象分别交x轴，y轴于A,C两点，
（1）求出A、C两点的坐标.
（2）在x轴上找出点B，使△ACB~△AOC，若抛物线经过A、B、C三点，求出抛物线的解析式.
（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同的速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出所有的m值；若不存在，请说明理由.
23．（1）A（-16，0） C（0，-12）················································· 2分
（2）过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求，············ 3分
则OC2=OA×OB 此时OB=9，可求得B（9，0）····························· 5分
此时经过A，B，C三点的抛物线的解析式为：
y=
x2+
x-12············································································· 8分
（3）当PQ∥BC时，△APQ ~△ACB··············································· 9分
得
=
·················································································· 10分
∴
=
解得m=
··························································· 11分
当PQ⊥AB时，△APQ ~△ACB······················································· 12分
得：
=
··············································································· 13分
∴
=
解得m=
······················································· 14分
25．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，以点A(，0)为圆心，以
为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.
（1）求D点坐标．
（2）若B、C、D三点在抛物线
上，求这个抛物线的解析式．
（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30º，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．
25．解：（1）连结AD，得OA=，AD=2 ……………………1分
∴OD=3， D(0，-3) ………………………………………………2分
（2）由B(-，0)，C(3，0)，D(0，-3)三点在抛物线上，……3分
得
解得 
………………………………5分
∴
…………………………………………………………6分
（3）连结AP，在Rt△APM中，∠PMA==30º，AP=2
∴AM=4， M (5，0) …………………………7分
∴N(0，-5) ……………………………………………8分
直线MN解析式为：
抛物线顶点坐标为(，-4) ………………………………9分
∵
∴抛物线顶点在直线MN上． ……………………………10分
七、（12分）如图3.以A(0，)为圆心的圆与x轴相切于坐标点O,与y轴相交于点B,弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD的延长线交x轴于点C.
（1)分别求点E, C的坐标．
(2)求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．
(3)设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心, ME为半径的圆与☉A的位置关系，并说明理由．
一个圆柱的一条母线为AB,BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的表面爬行到点C．
⑴如图①，如果底面周长为24cm,高为4cm,那么蚂蚁的最短行程是多少cm?
⑵如图②，如果底面半径为rcm,高为hcm,那么你认为蚂蚁可能有哪几种行程较短的路径?试画出平面展开图说明路径(至少画两种不同的路径),不必说明理由．
⑶通过计算比较②中各种路径的长度，你能得到什么一般性的结论？或者说，蚂蚁选择哪条路径可使行程最短？
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28、（12分）某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润
万元（为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54万元。
（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为_________万元，企业生产B种产品的年利润为_________万元（用含和的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为
万元，则与之间的关系式为＝____________。
（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的
，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案
？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。
（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：
| 产 品 | C | D | E | F | G | H |
| 所需资金（万元） | 200 | 348 | 240 | 288 | 240 | 500 |
| 年 利 润（万元） | 50 | 80 | 20 | 60 | 40 | 85 |
如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。
28、解：（1）
，
，
（2）由题意得
解得
＜≤100。注：写97.5＜≤100或97.4＜≤100均视为正确
∵为整数 ∴只能取98、99、100。
故共有三种调配方案：
①202人继续生产A种产品，调98人生产B种产品；
②201人继续生产A种产品，调99人生产B种产品；
③200人继续生产A种产品，调100人生产B种产品；
又＝
，由于
＞0，函数随的增大而增大。故当＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。
（3）当＝2时，最大总利润为788万元。根据题意，可投资开发产品F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G。
30、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，∠CBD的平分线交CE于点H.
（1）求证：BE=HE；
（2）若AH⊥CE，Q为 上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，
求AT•AG的值；
（3）如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N，设⊙O1的半径为R，当k=时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.
28、证明：(1)∵AE⊥BD，∴=，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.
解： (2)连结QC、TB，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB2=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H为CE的中点，∴BE=EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴==. 设⊙A的半径为R，由AB2－OA2=BO2，OE=R－3，得R2－32=4(R－3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT•AG=AB2=25.
(方法二提示:可连结AD,CD证ΔBAG∽ΔTAD)
(3)答：②的值不变.
证明：作O1K⊥MN于K，连结O1N、PN、BM，
则MN=2NK， 且∠N O1K=∠NPM，
∴==2sin∠NO1K=2sin∠NPM，
由直线y=x+3 得 OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠BMO=∠DMO，
又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，
∵∠ABM=∠PNM，
∴∠MPN=∠BAM=∠NO1K，=2sin∠BAM=2×= ，
所以的值不变，其值为 .
23.（15分）已知抛物线
与直线
：
的交点除了原点
外，还相交于另一点
.
（1）分别求出这个抛物线的顶点、点的坐标（可用含
的式子表示）；
（2）将抛物线沿着轴对折（翻转
）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：
①当
时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线上；
②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点
，使点到直线的距离等于线段
的
？若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由。
28、（8分）如图：直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点A、B，M（t，0）是x轴上异于A的一点，以M为圆心且过点A的圆记为⊙M.
（1）求证：直线AB将⊙M的周长分为1：3两部分；
（2）若直线AB被⊙M所截得的弦长为
，求t的值；
（3）若点N是⊙M上的一点，是否存在实数t，使得四边形ABMN为平行四边形？若存在，求出t的值，并写出N的坐标；若不存在，说明理由.
