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中考数学复习动点专题

1、　如图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线（）图像上。（1）求抛物线方程。（2）正方形OABC继续顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线的图像上？并求这个点的坐标。

解：（1）设旋转后点A落在抛物线上点A₁处，OA₁=1，过A₁作A₁M⊥x轴

于M，则OM=，，，由A₁在

上得，解得

∴

（2）由抛物线关于y轴对称，再次旋转后A落在抛物线上的点A₂处，点A₂与点A₁关于y轴对称，易见继续旋转120°，点A₂的坐标为

2、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC上有一个动点P（不包括A和C），设AP=x，四边形PBCD的面积为y，

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围。

（2）有人提出一个判断“关于动点P，△PBC面积与

△PAD面积之和为常。” 请说明此判断是否正确，并说明理由。

（3）将题目中的矩形改为平行四边形，且已知平行四边形的面积为S，对角线上一动点P，是否有“△PBC面积与△PAD面积之和为常”，并说明理由。

解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，在Rt△ABC中，AC=10，PC=AC-AP=10-x，∵PE⊥BC，AB⊥BC,∴△PEC∽△ABC，则,即，PE=8-，∴△PBC面积=，又△PCD面积=△PBC面积，∴y=（0<x<10）

（2）这个判断是正确的，S_△PBC+S_△PAD=24；（3）有，S_△PBC+S_△PAD=
3、如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3,0),B(0,)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥轴于点D。

(1) 写直线AB的解析式；

(2) 若S_梯形OBCD＝，求点C的坐标；

(3) 在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点

的三角形与△OBA相似。若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在；请说明理由。

解：（1）直线AB解析式为：y=x+

（2）∵,＝，∴

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD。

∴＝CD×AD＝＝，可得CD＝。

∴AD=1，OD＝2．∴C（2，）。

（3）当∠OBP＝Rt∠时，如图

①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）。

② 若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1，

∴（1，）。

当∠OPB＝Rt∠时，

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，

∠BOP＝∠BAO＝30°。过点P作PM⊥OA于点M。

在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝。

∵ 在Rt△PMO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．

④ 若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°。

∴PM＝OM＝。∴（，）（由对称性也可得到点的坐标）。

当∠OPB＝Rt∠时，点P在x轴上，不符合要求。

综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3,）,（1,）,（,）,（,）。

4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，CD=12，DA=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动。点P，Q分别从点D，C同时出发，当Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是

等腰三角形？

（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，

求∠BQP的正切值；

（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由。

解：（1）首先0≤t≤16，如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，

则四边形PDCM为矩形，PM=DC=12。∵QB=16-t，

∴S=12×（16-t）÷2=96-t，0≤t≤16。

（2）设△BPQ是等腰三角形，分三种情况：①PQ=BQ，

在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²=BQ²=（16-t）²，解得t=3.5；②BP=BQ，在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²=BQ²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，无解。③PB=PQ，由PB²=PQ²，得t²+12²=(16-2t)²+122，整理得3t²-64t+256=0,解得（不合题意，舍去）。综上可知，答案为t=3.5或秒。