中考数学创新题
-------折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.
一．折叠后求度数
【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．600 B．750 C．900 D．950
答案：C
【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
答案：A
【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
 | |||
 | |||
答案：36°
二．折叠后求面积
【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
答案：C
【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是
A．2 B．4 C．8 D．10
答案：B
【6】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：
（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）
 |
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2
答案：B
三．折叠后求长度
【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且
，则CE的长是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：D
四．折叠后得图形
【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
 |
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
答案：D
【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
 |
A. B. C. D.
答案：D
【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )
 |
答案：D
【11】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的
处。得到
（图乙），再延长
交AD于F，所得到的
是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
答案：B
【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）
答案：C
【13】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
答案：C
【14】
如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
答案：D
五．折叠后得结论
【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
答案：180
【16】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则
与
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
答案：B
【17】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）
A.a2 – b2 =(a +b)(a -b) Ｂ.(a – b)2 = a2 –2ab+ b2
Ｃ.(a + b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a +b)
答案：A
【18】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
答案：A
六．折叠和剪切的应用
【19】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.
答案：（1）先求出DE=
，
，
后证之.
（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.
【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?
答案：
∶1.
【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
 |
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程
的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
 |
答案：（1）如图
（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE
∴BC＝2AB， 即
由题意知 
是方程
的两根
∴
消去a，得 
解得 
或
经检验：由于当，
，知不符合题意，舍去.
符合题意.
∴
答：原矩形纸片的面积为8cm2.
【22】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
答案：可以切割出66个小正方形。
方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD。
∵AB＝1 BC＝10
∴对角线
＝100＋1＝101＜
（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线
＜。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：
＞
（3）同理：
＜
＞
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。
（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。
∵
＜
＞
（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。
∵
＜
＞
现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。
∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个）
方法二：
学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。
可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：
（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。
（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。
这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）
【23】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
答案：（方案一）
（方案二）
设BE=x，则CE=12-x
由AECF是菱形，则AE2=CE2
比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.
【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
 |
仿上面图示的方法，及韦达下列问题：
操作设计：
（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。
 |
（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。
答案：（1）
（2）略。
【25】如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.
(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法).
(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.
| 等分圆及扇形面的次数(n) | 1 | 2 | 3 | 4 | … | n |
| 所得扇形的总个数(S) | 4 | 7 | … |
(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？
答案：(1)由图知六边形各内角相等.
(2) 七边形是正七边形.
(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.
【26】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的
，请说明理由(写出证明及计算过程).
答案：剪法是：当AA1=BB1=CC1=DD1=
或
时，
四边形A1B1C1D1为正方形，且S=.
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=DA=1，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AA1=BB1=CC1=DD1，
∴A1B=B1C=C1D=D1A.
∴△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1.
∴D1A1=A1B1=B1C1=C1D1，
∴∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1.
∴∠AA1D+∠BA1B1=90°，即∠D1A1B1=90°.
∴四边形A1B1C1D1为正方形.设AA1=x，
则AD1=1－x.
∵正方形A1B1C1D1的面积=，
∴S△AA1D1=
即
x(1－x)=
，
整理得9x2－9x+2=0.
解得x1=，x2=.
当AA1=时，AD1=，
当AA1=时，AD1=.
∴当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，
四边形A1B1C1D1仍为正方形且面积是原面积的.