动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

例题如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm² .① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值。

解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴ S_ΔAPE=

第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论，P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是 0≤t≤10

不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2

若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8

　① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG + QF ）×AG÷2　 S=.

当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-（总量减部分量），QF=，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.

当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8） =20-2t，（难点）QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为； 当6≤t≤8时，S的最大值为；当8≤t≤10时，S的最大值为； 所以当t=8时，S有最大值为

█如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线按箭头所表示的方向作匀速直线运动．（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm），求y与x的函数关系式；（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x，），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．

█已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒，

（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值

（2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标

█如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。

（1）P点的坐标为（　　　　　　 ，　　　　　　　 ）；（用含x的代数式表示）

（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。

（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

█如图，在中，，，厘米，质点P从A点出发沿线路作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时出发沿线路作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、厘米/秒（），它们在秒后于BC边上的某一点E相遇。（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出与的值；

█如图，在中，，，厘米，质点P从A点出发沿线路作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时出发沿线路作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、厘米/秒（），它们在秒后于BC边上的某一点E相遇。（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出与的值；

█在三角形ABC中, .现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是/秒,点Q的速度是/秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半? (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?

 

█如图,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90^o，∠C=60^o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圆心O₁从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，如果⊙O₁半径为2cm，⊙O₂的半径为4cm，若O₁、O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts

　  （1）请求出⊙O₂与腰CD相切时t的值；

　  （2）在0s<t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？

█如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x²－(k+2)x+5=0的两个根，且S_△AOC：S_△BOC=1：5。　　　　　 （1）填空：0C=________，k=________； （2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。