中考专项训练——函数在实际中的应用

　函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。

　　例1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
　　（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。
　　（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

　　分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。

　　（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。

　　解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，

　　∴设y=a(x-0)²+3.5

　　即y=ax²+3.5，

　　将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5
　　　　　　　　　　　　 2.25a=-0.45
　　　　　　　　　　　　　　 a=-
　　∴y=-x²+3.5

　　（2）当x=-2.5时，

　　y=-0.2×(-2.5)²+3.5=2.25

　　2.25-1.8-0.25=0.20(m)

　　答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。

　　说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位置，确定坐标的符号。

　　例2．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

　　在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

　　（1）求这条抛物线的解析式。

　　（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

　　分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。

　　解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax²+bx+c

　　由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。
　　∴　∴

　　∵抛物线对称轴在y轴右侧，

　　∴>0，

　　又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0，

　　∴a=-，b=，c=0

　　∴抛物线的解析式为：y=-x²+x

　　（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，

　　y=(-)×()²+×=-，

　　∴此时运动员距水面高为：10-=<5，

　　因此，此次试跳会出现失误。

　　例3. （香港）今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是y=4x-x², 斜坡的方程是y=x，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）
　　（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离。
　　（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求OB与水平线OX之间夹角的正切。

　　分析：（1）实际上是求A点的坐标；（2）求出顶点坐标是关键。

　　解：由方程组， ∴

　　∴ A（7，3.5）

　　∴ A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。

　　（2）由y=4x-x²=-(x-4)²+8

　　∴ B(4,8), tanα==2.

　　例4．已知斜坡PQ的坡度i=1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流的最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O为原点，OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴建立坐标系，求水喷到斜坡上的最低点B与最高点C的距离。

　　分析：直线PQ是正比例，需一个条件确定k，用i=1∶，求线段BC应求出B、C坐标，即抛物线与直线交点。

　　解：过M作MH⊥x轴于H，过A作AG⊥MH于G，

　　Rt△AGM中，∠MAG=30°，MG=1，∴AG=，MH=2，

　　∴M（，2）

　　∵M′与M点关于y轴对称，

　　∴M′(-，2），

　　设以M为顶点的抛物线解析式为y=a(x-)²+2

　　以M′为顶点的抛物线解析式为
　　y′=a′(x+)²+2

　　∵均过A（0，1），

　　∴a=-，a′=-，

　　∴y=-x²+x+1

　　　y′=-x²-x+1，

　　设直线PQ的解析式为y=kx，

　　∵i=1∶，C在PQ上，∴设C（m, m），

　　∴m=mk，∴k=，

　　∴y=x，

　　∴　∴C（）舍去负值。

　　　∴B（）舍去正值。

　　∴CD=，OC=2CD=1+

　　OB=2=3+，

　　∴BC=4++。

　　例5．（1）一辆宽2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），为保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5米的距离，求货车的限高为多少？
　　（2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多少？
　　
　　分析：题中已知条件有一条抛物线，要确定这条抛物线必须建立适当的坐标系。为使计算量小，可以过抛物线的对称轴建立坐标系。

　　解：建立如图所示坐标系，∵抛物线的顶点坐标是（0，4），∴可设抛物线的方程为y=ax²+4.

　　又抛物线过（4，0）点，∴ 0=a×4²+4,

　　∴ a=-.

　　∴ y=-x²+4 (-4≤x≤4)

　　(1)当x=1时，y=3.75.

　　∴货车限高为3.75-0.5=3.25(m)

　　(2)当x=2时，y=3

　　故货车限高为3-0.5=2.5米。

　　例6．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。　　　　　　　　　

　　分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。

　　解：根据题意，建立直角坐标系，如图

　　可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，

　　设抛物线的解析式为y=a(x-h)²+3 (0≤x≤10)

　　将(0, )和(10, 0)代入解析式，得
　　由①，得a=-，

　　代入②，得-(10-h)²+3=0

　　去分母，整理得h²+16h-80=0

　　解出h₁=-20, h₂=4

　　当h=-20时，y=a(x+20)²+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合
0≤x≤10的要求，舍去。

　　当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)²+3

　　即y=-x²+x+(0≤x≤10)。

　　例7．A市场和B市场分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台，已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为4百元和8百元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为3百元和5百元。
　　（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；
　　（2）若要求总运费不超过9千元，问共有几种调运方案？
　　（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？

　　分析：本题属于规划调运问题，根据题意可建立问题的函数模型，讨论自变量的取值范围，并由函数的性质，讨论问题的最小值，本题是函数知识的灵活运用。

　　解：（1）因为B市场运往C市机器x台，所以B市场运往D市(6-x)台，A市运往C市(10-x)台，A市场运往D市(2+x)台；运费依次为：3x百元、5(6-x)百元、4(10-x)百元、8(2+x)百元.

　　总运费为W=3x+5(6-x)+4(10-x)+8(2+x)=2x+86

　　所求函数的表达式为W=2x+86

　　（2）由题意，得2x+86≤90，

　　∴x≤2

　　又∵B市可总共支援外地6台，

　　∴0≤x≤6，

　　∴0≤x≤2，故x可取0、1、2三个数，

　　所以要求总运费不超过9千元，共有三种调运方案。

　　（3）∵0≤x≤2，由一次函数性质，得

　　当x=0时，W的值最小，W_最小值=86，

　　此时的调运方案是
　　B市场运至C市0台，运至D市6台；
　　A市场运至C市10台，运至D市2台。
　　最低总运费为8600元。