08届高考数学综合训练（七）

1、如图，O，A、B是平面上的三点，向量，设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量，若等于（　　）

A．1　　　　　　　B．3

C．5　　　　　　　D．6

2、如图所示，阴影部分的面积S是h的函数，则该函数的图象是（　　）

3、设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　A．平行　　　　　 B．垂直　　　　　 C．重合　　　　　 D．相交但不垂直　　　　

4、已知，，则（　 　）

　 A．　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　D．

5、已知函数的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x₁, y₁)，N(x₂, y₂)，就恒有的定值为y₀，则y₀的值为

A．　 　　B．　　 C．　　　　 D．

6、已知平面上的直线L的方向向量＝(－,)，点A(－1,1)和B(0,－1)在L上的射影分别是A₁和B₁，若＝λ，则λ的值为(　　)

　A．　　　　　　 B．－　　　　　　 C．2　　　　　　　D．－2

7、一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（　　）

A,椭圆　　 B，双曲线　　 C，抛物线　　D，圆　

8、已知θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=1/4,则x²sinθ-y²cosθ=1表示（　　）

A，焦点在x轴上的椭圆　　　　　　　　  B，焦点在y轴上的椭圆　

C，焦点在x轴上的双曲线 　　　　　　　 D，焦点在y轴上的双曲线　　　　　 

9、设数列的取值范围是　　；．

10、依次写出数列：，，，…， ，…，其中，从第二项起由如下法则确定：如果 为自然数且未出现过，则用递推公式否则用递推公式，则　　　　．

11、已知分别为双曲线的左、右焦点，P是为双曲线左支上的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围是___________________

12、函数是定义在上的函数，满足，且，在每一个区间（）上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分，记直线，,轴及函数的图象围成的梯形面积为（），则数列的通项公式为　　　　　　　 

13、已知二次函数f(x)=x²-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0<x₁<x₂，使得不等式f(x₁)>f(x₂)成立。 设数列{a_n}的前n项和S_n=f(n).

　 （1）求数列{a_n}的通项公式；

　 （2）若（满足：对任意的正整数n都有b_n<a_n，求的取值范围

（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i·c_i+1<0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数。令（n为正整数），求数列{c_n}的变号数。

14、已知A、B、C为△ABC的三个内角，设.

（Ⅰ）当f (A, B)取得最小值时，求C的大小；

（Ⅱ）当时，记h（A）＝f (A, B)，试求h（A）的表达式及定义域；

（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在向量p，使得函数h（A）的图象按向量p平移后得到函数 的图象？若存在，求出向量p的坐标；若不存在，请说明理由

15、如图，在底面是矩形的四棱锥中，面ABCD，PA=AB=1，BC=2

（Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

（Ⅱ）若E为PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；

（Ⅲ）在BC上是否存在一点G，使得D到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由。　

　

 

16、已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.

　 （I）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；

　 （II）过A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.

17、已知函数f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值.

　 （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有f(x₁)－f(x₂)≤4；

　 （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

南海中学2008届高三理科数学综合训练（七）参考答案

1－4 DCAB　5－8 BDAB 9、；10、2；11、；12、

13、.解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴△=a²-4a=0　∴a=0或a=4，

　　 当a=0时，函数f(x)=x²在(0,+∞)上递增，故不存在，使得不等式f(x₁)>f(x₂)成立。

　　 当a=4时，函数f(x)=x²-4x+4在(0,2)上递减，故存在0<x₁<x₂，使得不等式f(x₁)>f(x₂)成立。

综上，得a=4　　　　（3分）　　　　f(x)=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4　

∴　 　　

（2）∵b_n=n-k对任意的正整数n都有b_n<a_n，∴，即　∴

　　 当n≥2时，n-k<2n-5恒成立，即n>5-k恒成立，即5-k<2　　∴， 　总之有　

（3）解：由题设知　　　　　　　  当时，

由即，得或　

∴或又∵，∴时也有也有

　综上得 数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3.　

14、解：（Ⅰ）配方得f (A，B) = (sin2A-)² + (cos2B-)² +1，　　　　

∴ [f (A，B) ]_min= 1, 当且仅当时取得最小值.　

在△ABC中，　 故C = 或.

（Ⅱ）A+B = ，于是h（A）＝

＝cos2A－＋3=2cos(2A+) + 3.∵A+B = ，∴.　　　　　　　　　　　　 （Ⅲ）∵函数h（A）在区间上是减函数，在区间上是增函数；而函数在　　区间上是减函数.∴函数h（A）的图象与函数的图象不相同，从而不存在满足条件的向量p.　　　　　　　　　　

15、解、以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建系，则　

（Ⅰ）易证得CDAD，CDAP　则CD面PAD平面PDC平面PAD　

（Ⅱ）所以　所求角的余弦值为　

（Ⅲ）假设存在，设BG=x，则，作DQAG，则DQ平面PAG，

即DG=1，，

故存在点G，当时，D到平面PAG的距离为1。

16、解：（I）由于

从而所求椭圆的方程是

设直线AB的方程，

其中k为直线AB的斜率，依条件知k>0.

由

根据条件可知

设

又由　　　 

 消去令

由于.　上是减函数.

从而

而，因此直线AB的斜率的取值范围是

　 （II）上半椭圆的方程为且

求导可得.　所以两条切线的斜率分别为

 

切线PA的方程是

从而切线PA的方程为，同理可得切线PB的方程为

由

再由

又由(I)知

因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是

17、解：（I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

　　　　即　　  解得a=1，b=0.　　　　 ∴f(x)=x³－3x.

（II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有f(x₁)－f(x₂)≤f_max(x) －f_min(x)　　　 f(x₁)－f(x₂)≤f_max(x)－f_min(x)=2－(－2)=4

（III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲线方程为y=x³－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根. 设g(x­₀)= ，则g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x₀)= 的极值点为x₀=0，x₀=1

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<m<－2.

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2