08届高考数学三月综合测试

理科数学试卷

命题人：徐喜峰（2008年03月17日）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上.
2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若全集U = R，集合

　　　 A．　B．　　C．　 D．

2．向量满足与的夹角为60°，则　　

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B． 　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

3．为等差数列，若，且它的前n项和S_n有最小值，那么当S_n取得最小正值时，n =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　 A．11　　　　　　　　　　　 B．17　　　　　　　　　　　 C．19　　　　　　　　　　　　　　D．21

4．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．　　　　　　 B． C．　　　　　　　　　　D．（0，）

5．设，则

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　　　D．

6．在中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么一定是

Ａ．等腰直角三角形　　 Ｂ．等腰三角形　　Ｃ．直角三角形　　Ｄ．等边三角形

7．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为

　 A．　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

ycy

8．在正项等差数列{a_n}中，前n项和为Sn，在正项等比数列{b_n}中，前n项和为Tn，若a₁₅＝b₅，a₃₀＝b₂₀，则∈(　　)

　 A．(0，1)　　　　　　　　　B．(，1)　　　　　　　　 C．[1，＋∞]　　　　　　D．[，2]

9．正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为　

　　　 A．1:3　　　　　　　　　　　B．　　　　C．　　　　D．

10．已知P是椭圆上的点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F₁PF₂的面积为

　　　 A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知等式成立，则的值等于　　　　　　　　  .

12．直线和圆交于点A、B，以轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为，OB为终边的角为，那么是　　　　.

ycy

13．已知的最小值是　　　　　 .

14．抛物线y＝(n²＋n)x²－(2n＋1)x＋1(n∈N^＋)，交x轴于An，Bn两点，则A₁B₁＋A₂B₂＋…＋A₂₀₀₇B₂₀₀₇的值为　　　　　　

15．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中真命题的编号是_____________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，。

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求的值。

17．（本小题满分12分）

　甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他

三人中的一人，……，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求：

 （Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；

 （Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示传球停止时传

球的次数，求

18．（本小题满分12分）

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，

PA⊥平面ABCD，且PA=2AB

　（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；

　（Ⅱ）求二面角B—PC—D的余弦值.

	ycy

19．（本小题满分12分）

若函数

　（Ⅰ）求函数的单调区间

　（Ⅱ）若对所有的成立，求实数a的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知直线相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，，且点M在直线上.

　 （Ⅰ）求椭圆的离心率；

　 （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

21．（本小题满分14分）

　 把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

1

3　 5

7　　9　　11

－　 －　 －　 －

－　 －　 －　 －　 －

设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。

理科参考答案

一、选择题：

DDCBA　BDCDA

ycy

二、填空题：

11．0　　 12．　　 13．1　　14．　　  15. ①④

三、解答题：

16．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

17．解：（Ⅰ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

　 （Ⅱ）　　  12分

18．解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD　 ∴PA⊥BD

∵ABCD为正方形　 ∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内，

∴平面PAC⊥平面BPD　　　6分

　 （Ⅱ）解法一：在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角，

在△BND中，BN=DN=，BD=

∴cos∠BND =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

　　解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

设

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

　　　　　　　　　　12分

解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易证AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

设

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∵二面角B—PC—D的平面角与∠MAN互补

∴二面角B—PC—D的余弦值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．解：（1）的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

　　　

　　　 ①当…………3分

　　　 ②时

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　 …………4分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　　　 综上：

　　　

　　　 单调递减区间为

　　　 的单调递增区间（0，+）　　　　 …………6分

　 （2）　　　　　 …………7分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

　　　 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………9分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………11分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

　　　 另解：　　　　　　　

　　　 …………7分

　　　 　　　　　　　　　 …………8分

　　　

　　　 单增　　　　　　　　　　 …………9分

　　　 ①当

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………11分

　　　 ②当

　　　

　　　 不成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

　　　 综上所述

20．解：（Ⅰ）由知M是AB的中点，

设A、B两点的坐标分别为

由

，

∴M点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

又M点的直线l上：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

　 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：

上的对称点为，

则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

由已知

，∴所求的椭圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21．解：（Ⅰ）∵三角形数表中前行共有个数，

∴第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。

因此，使得的是不等式的最小正整数解。

由得，∴。∴。

第45行第一个数是，∴

（Ⅱ）∵，∴。

∵第行最后一个数是，且有个数，若将看成第行第一个数，则第行各数成公差为的等差数列，故。∴。

故。用错位相减法可求得。