08届高考数学下学期阶段性检测理科试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题（本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上 ）
1．若
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为两不相等的实数，集合
，映射
表示把
中的元素
映射到集合
中仍为，则
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知方程
的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则
（ ）
A．
B． 
C．
D．24
4．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为( )
A．
B．
C．
D．
5．若已知
, 求
的值, 那么在以下四个答案:
① 
; ② 
;
③ 
; ④ 
中, 正确的是（ ）
(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④
6．椭圆
的左准线为
，左右焦点分别为
和
；抛物线
的准线为，焦点为
与的一个交点为，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
平面上的一定点，
、
、
是平面上不共线的三个动点，点
满足
，则动点的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
8．
是
的导函数，的图象如图所示，则的
图象只可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
9．如右图所示，在单位正方体
的面对角线
上存在一点使得
最短，则的最小值为 （ ）
A．2
B．
C．
D． 
10．设三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为1米，有一个小虫从
点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过
这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
11．
是虚数单位，复数
的虚部为
.
12、对于正整数
和
，定义
！=
，其中
，且
是满足
的最大整数，则（
！）/（10
！）=___________
13．由约束条件
所确定的区域面积为
，记
，则
等于
.
14．函数
图像上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则公比的取值范围是_________________________.
15．对于集合
{1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对
、
的情况，计算它的“交替和”的总和
、
，并根据其结果猜测集合{1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和
。(不必给出证明)
三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤.
16.（本小题满分12分）已知三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C
，其中
．
（1）若
，求角
的值；
（2）若
，求
的值．
17．(本小题满分12分)设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞
上是单调函数.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x0≥1，f(x0)≥1，且f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0.
18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，
，D为棱
上的一动点，、分别为
的重心．
（1）求证：
；
（2）若二面角C—AB—D的大小为
，求点C1到平面A1B1D的距离；
（3）若点C在
上的射影正好为M，试判断点C1在
的射影是否
为N？并说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知某车站每天8：00—9：00、9：00—10：00都恰好有一辆客车到站；8：00—9：00到站的客车可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为
.9：00—10：00到站的客车可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为.今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？
20． (本小题满分13分)
已知二次函数
同时满足：①不等式
的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立。 设数列
的前项和
，
（1）求数列的通项公式；
（2）试构造一个数列
，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有
，且
，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数的个数称为这个数列的变号数。令
（为正整数），求数列的变号数。
21．(本小题满分14分)
如图，棱长为1的正方体, 、为
、
的中点，是
的中点，过作直线与
交于，与
交于
，
（1）
求
的长度；
（2）
将平面
无限延展开来，设平面内有一动点
，它到直线
的距离减去它到点的距离的平方差为1，请建立适当的直角坐标系，
求出动点所构成曲线
的方程；
（3）
在（2）的条件下，请说明以
为直径的圆与曲线
是否有交点，如果有请求出；如果没有请使
用适当的文字加以说明
参考答案
一、选择题 C D D A B B C D C B
二、填空题 11. 
； 12. 
； 13. 
； 14. 
； 15. 
三、解答题
16.解：（1）∵三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C，
∴
，
由得，
即 
∵ ， ∴ 
．
（2）由得，
即 
，
∴ 
，
又 ， ∴
，
∴ 
．
17．解（1）y′=f ′(x)=3x2-a.
若f(x)在[1,+∞]上是单调递减函数，则须y′<0,即a>3x2,这样的实数a不存在，
故f(x)在[1,+∞]上不可能是单调递减函数.
若f(x)在[1,+∞]上是单调递增函数，则a≤3x2，由于x∈[1,+∞]，故3x2≥3.从而0<a≤3 .
（6分）
（2）方法一 (反证法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能为单调递增函数.假设f(x0)≠x0,
若1≤x0<f(x0)，则f(x0)<f(f(x0))=x0矛盾，
若1≤f(x0)<x0,则f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0)矛盾，
故只有f(x0)=x0成立. （12分）
方法二
设f(x0)=u,则f(u)=x0，∴x
-ax0=u,u3-au=x0,两式相减得(x-u3)-a(x0-u)=u-x0，
∴(x0-u)(x
+x0u+u2+1-a)=0,∵x0≥1,u≥1，∴x+x0u+u2≥3.
又0<a≤3,∴x+x0u+u2+1-a>0.
∴x0-u=0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.
（18）解：（1）连结
并延长，分别交
于
，连结
，
分别为
的重心，则
分别为
的中点
在直三棱柱
中，
（2）连结
即为二面角
的平面角
在
中，
连结
同上可知，
设
（3）
∽
.
解法二：空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。
（1） 设
，依题意有：
因为M、N分别为
的重心．
所以
∵
∴
（2）
因为平面ABC的法向量
， 设平面ABD的法 向量
令
，设二面角C—AB—D为
，则由
因此 
设平面A1B1D的法向量为
，则
设C1到平面A1B1D的距离为
，则
（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则
|
（舍）
因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。
19．本题考查离散型随机变量的分布列，考查运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力
|
| 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
|
|
|
|
|
|
|
旅客甲候车时间的平均值比乙多.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为
分钟，则他们的分布列为：
甲旅客 乙旅客
|
| 10 | 30 | 50 |
|
|
|
|
|
易知
，
，
，旅客甲候车时间的平均值比乙多.
20.解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴
，
当
时，函数
在
上递增，故不存在，使得不等式成立。
当
时，函数
在
上递减，故存在，使得不等式成立。
综上，得，，∴
，∴
（2）要使，可构造数列
，∵对任意的正整数都有，
∴当
时，
恒成立，即
恒成立，即
，
又
，∴
，∴
，等等。
（3）解法一：由题设
，
∵
时，
，∴时，数列递增，
∵
，由
，可知
，即时，有且只有个变号数；
又∵
，即
，∴此处变号数有
个。
综上得 数列共有
个变号数，即变号数为。
解法二：由题设，
时，令
；
又∵
，∴
时也有
。
综上得 数列共有个变号数，即变号数为。
21. 
(1)如图，连
交
于
，连
，延长
， 
交于
，连结
交
于
，则
为所求的线段，易得
，
在
中，可得到
，
|
．
（2）过作
，过作
，
又
，故
．
在
中，
故点的轨迹是以为焦点，以
为准线的抛物线，
以过点且垂直于的直线为轴，以点的垂线段的中点为原点，建立直角坐标系，设抛物线的方程
，由于点到的距离为
，故
，
∴曲线K的方程为
（3）假设抛物线与圆有交点，设交点为
，则
为直角，易得
故
，又
，过作
则
，与矛盾，故交点不存在，于是以
为直径的圆与曲线
是没有交点．