高考理科数学复习第一阶段质量检测

　　　　 数学试题（）　　　　   2008.03

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案.不能答在试卷上。

3．考试结束，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．设U为全集,M、P是U的两个子集,且,则(　　)

　A. M　　　　B. P　　　　C. 　　　　D.

2．是虚数单位，则复数等于（　 ）

A．　 　　B． 　　　　　 C．　　　　　　D．

3. 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为（　 ）

　　　 A．①随机抽样法，②系统抽样法　　　　　　B．①分层抽样法，②随机抽样法

　　　 C．①系统抽样法，②分层抽样法　　　　　　D．①②都用分层抽样法

4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积大约为（　 ）.

A．6　　　　 　 B．12 　　　　　　　

C．18　　　　　 D．20

5．如图，该程序运行后输出的结果为　　  （　　）

A．1　　　 　B．2　　

C．4　　 　　D．16

6．设、满足条件，则的最小值等于（　　）

A．4　　　　　　  B. 5　　　　　　 C.6　　　　　　 D.7

7．函数的图象与函数的图象关于（　　）

A．点对称　　 B.直线对称　　 C.点对称　　　D.直线对称

8.　我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（　）

A．不变　　　　　 B. 变小　　　　　　 C. 变大　　　　  D.无法确定

9．设函数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（　　）

A．　　 　　　B． 　　　　C．　　 　D．

10．四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：

则四棱锥的表面积为(　　)

　　　　　　　　　 

A.　　　　B.　　　　  C.　　　　D.

11. 给出下列四个命题,其中真命题为(　　)

①命题“x∈R，使得x²＋1＞3x”的否定是“x∈R，都有x²＋1≤3x”；

②“m=－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1=0与直线（m－2）x＋(m＋2)y－3=0相互垂直”的必要不充分条件；

③设圆与坐标轴有个交点分别为则；

④函数的零点个数有3个．

A. ①④　　　　 B.②④　　　　　 C. ①③　　　　 D. ② ③

12．已知O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足

,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

　　　 A．内心 　　 B．垂心　　　 　　 C．外心　　　 　　 D．重心

济宁市2007—2008学年度高三复习第一阶段质量检测

　　　　 数学试题（理科）　　　　   2008.03

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题；每小题4分，共16分）

13.抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点,则　　　 .

14.设＝，则二项式展开式中含项的系数是　.

15. 在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为 _______________.

16.设等边的边长为,是内任意一点,且到三边、、的距离分别为、、,则有为定值;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体的棱长为,是正四面体内任意一点,且到平面、平面、平面、平面的距离分别为、、，则有为定值　　　　.

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．(本题满分12分) 在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA,sinA）,

 =（），若 =2.

　 （1）求角A的大小；

　 （2）若的面积.

18. (本题满分12分) 在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某选手判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该选手答完题后总得分为”．

　（1）当时，记，求的分布列及数学期望；

　（2）当时，求且的概率．

19.(本小题满分12分) 在等腰梯形中（如图1），，，， 于点;将沿折起，使平面平面（如图2）,点在棱上,平面把几何体分成的两部分体积比

（1）确定点M在上的位置；

（2）判断直线是否平行于平面,并说明理由；

（3）求二面角的正切值．

20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x²－x＋alnx,

　  (1)若恒成立，求的取值范围；

(2)求的单调区间.

21. (本小题满分12分) 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围．

22. (本小题满分14分) 幂函数y = 的图象上的点 P_n(t_n²,t_n)（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Q_n 及原点 O 构成一系列正△P_nQ_n－1Q_n（Q₀与O重合），记 a_n = Q_n－1Q_n

（1）求 a₁的值；

（2）求数列 {a_n} 的通项公式 a_n;

（3）设 S_n为数列 {a_n} 的前 n 项和，若对于任意的实数 l∈[0,1]， 3S_n－3n + 2≥(1－l) (3a_n－1) 恒成立，求 n 的取值范围．

　　　　　　　　　　　　　　　　

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　　　　　　 数学试题参考答案及评分标准（理）　　　

一．选择题（每小题5分，共60分）

1．D  2．D　3．B　4．C　5．D　6．A　7．B　8．A　9．A　10．D　11．C　12．B

二．填空题（每小题4分，共16分）

13．　 14．　 15．　 16．

三.解答题

17. 解：（1）

　 ………………………2分

　

 …………………………4分

又

 …………………6分

另解： …………………2分

 ………………………4分

 ……………………5分

 

 ………………………………6分

（2）由余弦定理，

　　 ………………8分

即

 ……………………………………10分

　 …………………………12分

另解：由

又 …………………………………10分

∴△ABC为等腰直角三角形。

 ……………………………………12分

18. 解:（1）的取值为1，3，又；　 ………………………2分

故，．

所以 ξ的分布列为：

	1	3

……………………………4分

且 =1×+3×=；………………………………………………6分

（2）当S₈=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，

回答错误的题数是3题，  ……………………………………………8分

又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第三题回答正确，第二题回答错误，

则后5题可任意答对3题．　 ………………………………10分

此时的概率为．…………………12分

19. （Ⅰ）∵平面平面，

∴平面

　　　　　   ∴平面平面

在平面内，由作于点

∴平面　 ……………………………2分

∵

∴，从而

　　∴为的中点．……………………………………4 分

（Ⅱ）证法一：连接交于，因为，，，

由相似三角形易得，

∴不是的中点，

又∵为中点

∴在平面中，直线与相交　…………………………6分

又平面，平面．

∴直线与平面不平行． ………………………………………8分

证法二：反证法，证明略．

（Ⅲ）过点作于点，连结，

则是二面角的平面角　 ……………………………10分

注意到，，又

在中，

所以二面角的正切值为　 ……………………………………………………12分

或应用空间向量知识解决：

（Ⅱ）以为原点，直线、、为轴、轴、轴，

建立空间直角坐标系（如图），

则、、、、、

则，

设平面的法向量为，

则，这时取　 ……………………………6分

∵

而  ∴与不垂直

∴直线与平面不平行．……………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为

又平面的法向量

则　　…………………………………………………………10分

所以二面角的正切值为 ．……………………………12分

20. 解：(1)由 恒成立,得:在时恒成立

　　当时　　　 ……………………………2分

　　 当时即，令 , 　……………………4分

　　　 时 ,在时为增函数， 在时为减函数

　  ∴ 　 ∴ 　　…………………………………………………6分

(2)解：f(x)=x²－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋=，.

（Ⅰ）当△=1－8a≤0，a≥时，f′(x)≥0恒成立，

f(x)在+∞）上为增函数．……………………………………8分

（Ⅱ）当a＜时

①当0＜a＜时， ，

f(x)在+∞）上为增函数．……………………………9分

②当a=0时，f(x)在 [1，＋∞）上为增函数．……………………………10分

③当a＜0时，，故f(x)在，]上为减函数， f(x)在[，＋∞）上为增函数．……………………………-11分

综上:当时, f(x)的增区间为[1，＋∞）,无减区间;

　　 当a＜0时, f(x)的增区间是[，＋∞）,

减区间是，].　……………………………12分

21. 解：（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设，……2分

由条件知且，又有，解得 ， ………4分

故椭圆的离心率为，其标准方程为： ………………6分

（2）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　　………………………………………………7分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　　………………………………………9分

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）　　 ………………………12分

22. 解：(1) 由 P₁(t₁²,t₁)（t > 0），… 1分,得 k_OP1 = = tan = Þ t₁ =

∴　　P₁(,)　　 ……………………………2分

a₁ = Q₁Q₀ = OP₁ = 　 ……………………………4分

(2)　 设 P_n(t_n²,t_n)，得直线 P_nQ_n－1的方程为：y－t_n = (x－t_n²) 　　　

可得 Q_n－1(t_n²－,0) 　　　

直线 P_nQ_n的方程为：y－t_n = －(x－t_n²)，可得 Q_n(t_n² + ,0)

所以也有 Q_n－1(t_n－1² + ,0)，得 = t_n－1² + ，……………………………6分

由 t_n > 0，得 t_n－t_n－1 =

∴　　t_n = t₁ + (n－1) = n　……………………………8分

∴　　Q_n(n(n + 1),0),Q_n－1(n(n－1),0)

∴　　a_n = Q_nQ_n－1 = n　　 ……………………………10分

(3)　 由已知对任意实数时 l∈[0,1] 时 n ²－2n + 2≥(1－l) (2n－1) 恒成立

  Û 对任意实数 l∈[0,1] 时，(2n－1)l + n ²－4n + 3≥0 恒成立……………………………11分

则令 f (l) = (2n－1)l + n ²－4n + 3，则 f (l) 是关于 l 的一次函数.

Û 对任意实数 l∈[0,1] 时 　　

 Û 　 ……………………………13分

 Û n≥3或n≤1　　　

又 ∵ n∈N ^*

∴或且n∈N ^* ……………………………14分