08年高考文科数学综合测试

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合P={ 0, m},Q={x│},若P∩Q≠,则m等于（　）

A.1　　　　 B.2　　　　  C.1或　　　　　 D. 1或2

2．将函数的图象按向量

平移后所得图象的解析式是（　）

　　A．　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

3．数列{a_n}前n项和S_n = 3ⁿ– t，则t = 1是数列{a_n}为等比数列的(　 )

　　A．充分不必要　　　　　　　　　　　 　　B．必要不充分　　　

C．充要条件　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要

4. 函数的反函数是（　　）

A．　　 B．　　 

C．　D．

 5．某球与一个120°的二面角的两个面相切于A、B，且A、B间的球面距离为，则此球体的表面积为（　 ）　　　　　　　　　　　 

A．　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

6．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表

分数	，	，	，	，	，	，	，	，
人数	2	5	6	8	12	6	4	2

　　那么分数在[100，110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（　）．

　　A．0.18，0.47　　　　 B．0.47，0.18　　 　C．0.18，1　D．0.38，1

　　 

7．设ｆ(x)= x²+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域面积是 （　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A．　　　　　　　  B．1　　　　　　  C．2　　　　　　  D．

8．已知P是以F₁、F₂为焦点的椭圆上一点，若=0， =2，则椭圆的离心率为（　）　　　　　　　　

A． 　　　　　　　 B． 　　　　　C． 　　　　　　　　　　　D．

 9．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（　）

A．　　　 B．　　 C．　　 D．

10. 过抛物线y² = 2ρx (ρ＞0 )上一定点M ( x₀,y₀ ) ( y₀≠0 )，作两条直线分别交抛物线于A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则= （ 　）

　　A．4　　　　　　　　　　B．– 4　　　　 C．2　　　　　 D．–2　

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．)

11．设常数展开式中的系数为则= ______

12．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为______

13．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）

14．某篮球运动员在罚球线投中球的概率为，在某次比赛中罚3球恰好命中2球的概率为

__________________。

15．给出下列四个命题：

①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；

②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；

③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；

④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；

其中正确的命题序号为　　　　 （请把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16.(本小题满分12分)

、、为的三内角，且其对边分别为、、，若，，且

（1）求角；

（2）若，三角形面积，求的值．

17．（本小题满分12分）

已知数列 {2 ⁿ•a_n} 的前 n 项和 S_n = 9－6n.

(I) 求数列 {a_n} 的通项公式；

(II)　　设 b_n = n·(2－log ₂ )，求数列 { } 的前 n 项和T_n.

18．（本小题满分12分） 已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点在底面上的射影落在上．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）当α为何值时，AB₁⊥BC₁，且使D恰为BC中点？

（Ⅲ）若α = arccos ，且AC=BC=AA₁时,求二面角C₁—AB—C的大小．

19．(本小题满分12分)

随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)

	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	最多可生产件数
甲产品	20	a	10	200
乙产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且 3≤a≤8.另外，年销售 x件乙产品时需上交 0.05x ²万美元的特别关税.

(I) 写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润 y₁、y₂ 与生产相应产品的件数 x(x∈N)之间的函数关系；

(II)　　分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；

(III)　 如何决定投资可获最大年利润.

20．（本小题满分13分）

设，其导函数的图像经过点，且在时取得最小值－8

（1）求的解析式；

（2）若对都有恒成立，求实数的取值范围．

21．（本小题共14分）已知是双曲线上两点，为原点，直线的斜率之积

（Ⅰ）设，证明当运动时，点恒在另一双曲线上；

（Ⅱ）设，是否存在不同时为零的实数，使得点在题设双曲线的渐近线上，证明你的结论.

参考答案

一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	D	A	C	A	C	A	B	D	B	D

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11、；　　12、　； 13、720；　　  14 、 　；　 15、②④；

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）

16、（本小题满分12分）

解：（1）∵，，且

∴　　 …………………………………………2分

即又，∴　……………………………5分

⑵，∴＝4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……………………………7分

由余弦定理得……………………………10分

∴故．　　………………………………12分

17、（本小题满分12分）

解：(I) n = 1 时，2·a₁ = S₁ = 3,∴a₁ = ;　　　…………2分

当 n≥2 时，2 ^n·a_n = S_n－S_n－1 = －6，∴ a_n = . 又　≠ 　 …………4分　　 

∴　通项公式a_n = 　　　　　　…………6分

(II)当 n = 1 时，b₁ = 2－log ₂  = 3，∴ T₁ =  = ； …………8分

 n≥2时， b_n = n·(2－log ₂) = n·(n + 1)， ∴  =  …………10分

∴　T_n =  +  + … +  =  +  +  + … +  = －

∴　T_n = －　　　　　　　　…………12分

18、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵　B₁D⊥平面ABC，　AC平面ABC，

∴　B₁D⊥AC, 又AC⊥BC,　BC∩B₁D=D．

　　　  ∴ AC⊥平面BB₁C₁C．　　 　　　　　　 …………………… 3分

 _(Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB₁C₁C ，要使AB₁⊥BC₁ ，由三垂线定理可知，

只须B₁C⊥BC₁，　　　　　　　　　　　　　………………………… 5 分

　　　　 ∴　平行四边形BB₁C₁C为菱形， 此时，BC=BB₁．

　　　　 又∵ B₁D⊥BC, 要使D为BC中点，只须B₁C= B₁B，即△BB₁C为正三角形，　 ∴　∠B₁BC= 60°．　 　　　　　　　　………………………… 7分

 ∵  B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，

　　　　∴ ∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角．

故当α=60°时，AB₁⊥BC₁，且使D为BC中点…………………… 8分

（Ⅲ）过C₁作C₁E⊥BC于E，则C₁E⊥平面ABC．

过E作EF⊥AB于F，C₁F，由三垂线定理，得C₁F⊥AB．

∴∠C₁FE是所求二面角C₁—AB—C的平面角．………………… 10分

设AC=BC=AA₁=a，

在Rt△CC₁E中，由∠C₁BE=α=，C₁E=a．

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a．

∴∠C₁FE=45°，故所求的二面角C₁—AB—C为45°．………… 12分

解法二：（1）同解法一 　　　　　　　　　　　 ……………… 3分

（Ⅱ）要使AB₁⊥BC₁，D是BC的中点，即=0，=，

∴， =0，∴．

∴，故△BB₁C为正三角形，∠B₁BC=60°；

∵　B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，　　　　 …………………… 7分

　　　 ∴ ∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角．

　　　故当α=60°时，AB₁⊥BC₁，且D为BC中点．　　  …………………8分

（Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，－，a），

平面ABC的法向量n₁=（0，0，1），设平面ABC₁的法向量n₂=（x，y，z）．

由n₂=0，及n₂=0，得

　 ∴n₂=（，，1）．………………10分

cos<n₁, n₂>＝= ，

故n₁ , n₂所成的角为45°，即所求的二面角为45°．……………………12分

19、（本小题满分12分）

解：(I)由年销售量为 x件，按利润的计算公式，有生产甲、乙两产品的年利润 y₁， y₂分别为：

 y₁ = 10×x－(20 + ax) = (10－a)x－20， 0≤x≤200且 x∈N…………1分

 y₂ = 18×x－(40 + 8x) － 0.05x ² = －0.05x ² + 10x－40，…………2分

 ∴ y₂ = －0.05 (x－100) ² + 460，0≤x≤120，x∈N…………3分

(II)　　∵ 3≤a≤8， ∴ 10－a > 0， ∴ y₁ = (10－a)x－20为增函数，

又 0≤x≤200，x∈N

∴　x = 200时，生产甲产品的最大年利润为 (10－a)×200－20 = 1980－200a(万美元)。…………5分

又　 y₂ = －0.05 (x－100) ² + 460，且 0≤x≤120，x∈N

∴　x = 100时，生产乙产品的最大年利润为 460(万美元)。…………7分

(III)　 问题即研究生产哪种产品年利润最大，

 (y₁)_max－(y₂)_max = (1980－200a) －460 = 1520－200a …………10分

所以：当 3≤a < 7.6时，投资生产甲产品 200件可获最大年利润。

　　　 当 a = 7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；

　　　 当 7.6 < a≤8时，投资生产乙产品 100件可获最大年利润。……12分

 20、（本小题满分13分）

解：（1），且的图像经过点,

∴，　　　　　　　　　　　 ……2分∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　……3分

由，解得…5分∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

（2）要使对都有恒成立，只需即可．　　　　　　　　　　　　　  　　　…………………………7分

∵…………………………8分

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，…………………………10分

又∵，，

∴　　；　

故所求的实数的取值范围为．　　　　 …………………………13分

　　21. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设，由　，得

由在双曲线上，有

　　　　　  ①

　　　　　  ②…………………………………………2分

由，即，

得，　　　 ③………………………………………4分

①+2×③+②，并整理，得

这表明点恒在双曲线上.……………………………6分

（Ⅱ）同（Ⅰ）所设，由，得

当点在双曲线的渐近线上，有

即，亦即

…………………10分

将①②③三式代入上式，得，从而

因此，不存在不同时为零的实数，使得点在题设双曲线的渐近上.…14分