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山西省首批重点中学2005年四校联考试题

数学试题（理）　 

说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。　　　　　　　

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 定义集合　A﹡B=｛x︱xA且xB｝ 若A=｛1、2、3、4、5｝

B=｛2、4、5｝则A﹡B的子集个数为（　 ）

(A)　1 个　　　 (B)　2个　　(C)　3个　　　 (D)　4个

2.已知为正实数，奇函数与直线有两个交点，则方程 的实数根的个数是（　　 ）

（A）1个　　 （B）2个　　 （C）3个　　　　（D）4个

3.若存在实数、，使得对于所在平面外一点，有，则有（　　 ）

（A）平面；　　　　 （B）平面；

（C）在平面内；　　　 （D）点在直线上．

4.对于函数作的代换，则总不改变函数的值域的代换是 （　　　）

（A） （B）　（C）　　（D）

5.已知p：不等式的解集为R，q：是减函数，则p是q的（　　）

（A）充分非必要条件　　　　　　（B）必要非充分条件　　

（C）充要条件　　　　　　　（D）既不充分也不必要条件

6.若…的展开式中的一次项系数为，则的值等于（　　 ）

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　  （D）

7. 在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是PB、PC的中点，若截面AMN⊥面PBC，此棱锥侧面积与底面积的比为（　　）

　（A）　　（B）　 (C)　 (D)

8.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元；某人想选定吉利号18，然后再从01至17号选3个连续的号；从19至29号选2个连续的号；从30至36号中选一个号组成一注，则这个人把这种要求的号买全，至少要花（　　 ）

(A)　1050元　　 (B) 1052元　 (C)　2100元　　　(D) 2102元

9.已知有相同的两焦点、的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则（　　 ）

（A） 1　　（B） 　　（C） 0　　 （D）随、的变化而变化

10.函数当时，其抛物线在x轴上截得的线段的长度依次为则的值是（　　）

（A）1　　　　（B）2　　　　 （C）3　　　　  （D）4

11.向量与的夹角为,则直线与圆的位置关系是（　）

（A）相切　　  （B）相交　 （C）相离　 （D）随的位置而定

12.下列各组复合命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（　 ）

（A） p：

（B） p：过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a，b都相交；q：在ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B

（C）p：不等式的解集为，q：在第一象限在第一象限内是增函数

（D）p：q：椭圆的一条准线方程是

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.

13.若二项式展开式的第四项是常数项，则正整数n的值为　　　　　  .

14.容量为100的样本数据，按从大到小的顺序分为10个组，如下表

组号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
频数	5	8	10	12	15	14	13	11	7	5

则第三组的频率和累积频率分别是　　　　　　　　  .

15.函数的一条对称轴方程是 　，则分别以的绝对值为椭圆的长半轴和短半轴的椭圆的离心率为　　　　  .

16.已知m、n是直线，α,β,γ是平面，给出下列命题

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α,n⊥β,则α∥β

③若α内不共线三点A，B，C到β的距离都相等，则α∥β

④若nÌα,mÌα,且n∥β,m∥β,则α∥β

⑤若m,n为异面直线，且nÌα,n∥β,mÌβ,m∥α,则α∥β

则其中正确的是 　　　　　　　　.

三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在中，分别是的对边长，已知成等比数列，，求的大小及的值。

18．（本小题满分12分）

两个人射击，甲射击一次中靶概率是P₁，乙射击一次中靶概率是P₂，已知、是方程x²－5x＋6＝0的两根,若两人各射击5次，甲的方差是，乙的方差是.

（1）求P₁和P₂.

（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？　

19．(本小题满分12分)

已知函数，

（1）求的单调区间；

（2）当时，经过函数的图象上任意一点的切线的倾斜角总在区间范围内，试求实数的取值范围.

20．(本小题满分12分)

在直三棱柱中，是的中点，是上的点。已知。

（1）求证：；

（2）设二面角的大小为45°，，如果，求与平面所成角的大小。

21．(本小题满分12分)

　 在数列中，为其前n项和，已知且（）

（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）计算  ；

22．(本小题满分14分)

如图所示，在Rt△ABC中，D是线段AB的垂直平分线上的点，D到AB的距离为2，过点C的曲线E上任意一点P满足为常数。

（1）建立适当的坐标系，求出曲线E的方程；

（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N，且M点在D、N之间，若，求的取值范围。

山西省首批重点中学2004年四校联考试题

(理科)数学试题参考答案及评分标准　 2004、4

一、D D B D A　　 B DC C A　　 C B

二、13.　12　 14．0.1和0.23　15. 　　　　　16．(2)(5)

三、解答题：

　17、解：由条件　　　　　　　　　　　  　　　　　(2分)

得：　　　　　　　  （4分）

又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　(6分)

由正弦定理：及,得

。　　　　　　　　　　　　　　　　　  （12分）

 18.（1）由题意可知  甲5P₁（1－P₁）＝

　　　　　　　　　　　　　 乙5P₂（1－P₂）＝　 －－－－－－－2’

　　　　　　　　　　　　　　　＋ ＝5

　　　　　　　　　　　　　　  · ＝6－－－－－－－－－－－－3’

∴P₁＝　　　 P₂＝　 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－5’

　　（2）两类情况；

　　共击中3次

　　共击中4次

　　

　

19．解：（1）　　　　……1分

当时，令解得，令解得

所以的递增区间为，递减区间为.……3分

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.……5分

（2）当时，，……6分

因为，所以， 即 ，

所以，　　　　 ……9分

若，则不等式恒成立，当时，可得  且　恒成立，又，所以……12分

20、（1）证：，D是BC的中点，　　　　　　  （1分）

又三棱住ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，面ABC，　　　　  (3分)

　　　　　　　　　　 （4分）

（2）由（1）知：为二面角E-AD-C₁的平面角，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （6分）

又C₁E=ED，为等腰直角三角形，为AC₁与平面ADE所成角　　　　　　　　  （8分）

（10分）

∴AC₁与平面ADE所成角的大小为arcsin　　　　　　　　　　　　　　　 （12分）

21、（1）证明:由S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=O,所以S_n+1- S_n=2(S_n- S_n-1)-1

因为S_n+1- S_n=a_n+1　S_n- S_n-1=a_N(n2) 所以a_n+1=2a_n-1(n2)

又a₁= a₂=2 也满足上式，所以a_n+1=2a_n-1(n),则a_n+1-1=2（a_n-1）

即 { a_n-1}是公比为2的等比数列

(文6分，理4分)

（2）解由（1）知a_n-1=(a₁-1)2^n-1=×2^n-1=2^n-2

a_n=2^n-2+1　(n) ……………………………………(文12分，理8分)

（3）解Sn=+1+2+2²+……+2^n-2+n=(2ⁿ-1)+n

n

n

所以，则lim=lim …12分

22、解：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系，，　　　　　　　　　　　　　　　　  （2分）

所以动点的轨迹是以AB为焦点的椭圆，且，

故E的方程为：　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　 （4分）

（2）若l与y轴重合，DM=1，DN=3，；　　　　　　　 （5分）

若l与y轴不重合，D的坐标为（0，2），设直线MN的方程为：,把它代入椭圆E的方程整理得：，　　　　　　　　　　　　　　 （6分）

,

且，　　　　　　　　　　　　　　　  （8分）

设，又D（0，2），且，则

这里,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （11分）

又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （13分）

综上：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （14分