苏州中学高三数学练习（8）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是

A.81.2,4.4　　　　　 B.78.8,4.4　　　　C.81.2,84.4　　　　　D.78.8,75.6

2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:

行政区代号	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
人口（万）	63.46	59.44	103.23	38.11	21.67	6.46	6.61
面积(万 km2)	0.33	0.20	0.45	0.15	0.07	0.02	0.02

经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是

A.x₂B.x₃ C.x₅D.x₇

3. .已知p=2,q=3,p、q的夹角为，如下图所示，若 =5p+2q,=p－3q，且D为BC的中点，则的长度为

A.　　　　　　 B.　　　　　　C.7　　　　　　　 D.8

4．函数f(x)=b(1－)+ a sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,则f(x)在

(－∞,0)上有

A.最大值10　　　　　B.最小值－5　　　　　C.最小值－4　　　　　D.最大值13

5.如果≠kx对一切x≥15均成立,则有

A.k≤0　　B.k≤0或k>　　　C.k≤0或k>　　　D.0≤k<

6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:

①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－);④y=f(－x+1).

其中与图(b)所对应的函数解析式为

A.①②　　　　　 B.②③　　　　　　C.③④　　　　　　D.①④

7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.05¹⁵≈2.08)

A.412　　　　　　B.482　　　　　　 C.500　　　　　　 D.512

8. 已知F₁、F₂分别是双曲线－=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为

A.(1,3]　　　　　B.(0,3]　　　　　　　C.(1,2]　　　　　 D.(1,+∞)

9.设函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有

A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根

B.四个实根分别为x_i=i(i=1,2,3,4)

C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根

D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根

10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）

11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有___________种.

12.设不等式组所围成的平面区域的面积为S,当6≤S≤22时,a的取值范围是___________.

13.△A′B′C′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC的直观图,设

△A′B′C′的面积为S′,△ABC的面积为S,则=_______.

14.设x₁、x₂∈R,定义运算:x₁x₂=(x₁+x₂)²－(x₁－x₂)²,若x≥0,常数m>0,则动点P(x)=的轨迹方程是_______.

15. 记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=min{x, }也在变化,则t的最大值为___________.

16.设x、y∈R,且满足则x+y=___________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是P_k(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,

(1)求二人平局的概率P.

(2)证明P≥;并证明如果P=,则P_k=(k=1,2,3,4,5,6).

18.(本小题满分14分)

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CC₁上的一点.

(1)求证:不论P在侧棱CC₁上何位置,总有BD⊥AP;

(2)若CC₁=3C₁P,求平面AB₁P与平面ABCD所成的二面角的正切值;

(3)当P点在侧棱CC₁上何处时,AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分线?

19.(本小题满分12分)

如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a_ij(i≥j,i、j∈N^*).

,

,,

……

(1)试写出a_ij关于i、j的表达式,并求a₈₃;

(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.

20.(本小题满分16分)

已知集合A={(x,y)y≥x－a},B={(x,y)y≤－ax+2a}(a≥0).

(1)证明A∩B≠;

(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.

21.(本小题满分16分)已知椭圆C₁:+y²=1的左、右顶点分别是A、B,点P是双曲线C₂:－y²=1在第一象限部分上的一点,连结AP交椭圆C₁于点C,连结PB并延长交椭圆C₁于点D.

(1)若直线PA与PB的斜率分别为k₁、k₂,求证:k₁·k₂是定值;

(2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;

(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.

苏州中学高三数学试卷详细解答

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是

A.81.2,4.4　　　　　 B.78.8,4.4　　　　C.81.2,84.4　　　　　D.78.8,75.6

解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.

答案: A

2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:

行政区代号	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
人口（万）	63.46	59.44	103.23	38.11	21.67	6.46	6.61
面积(万 km2)	0.33	0.20	0.45	0.15	0.07	0.02	0.02

经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是

A.x₂B.x₃ C.x₅ D.x₇

解析: x_i区的人口密度为a_i(i=1,2,…,7),a₁=192.30,a₂=297.20,a₃=229.40,a₄=254.07,a₅=

309.57,a₆=323.00,a₇=330.50.

答案: D

3. .已知p=2,q=3,p、q的夹角为，如下图所示，若 =5p+2q,=p－3q，且D为BC的中点，则的长度为

A.　　　　　　 B.　　　　　　C.7　　　　　　　 D.8

解析: =(+)=3p－q,

∴²=9p²+q²－3p·q=.

∴=.

答案: A

4．函数f(x)=b(1－)+ a sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,则f(x)在

(－∞,0)上有

A.最大值10　　　　　B.最小值－5　　　　　C.最小值－4　　　　　D.最大值13

解析: 令F(x)=f(x)－3=b(1－)+sinx=b+sinx,

则F(－x)=b+sin(－x)=b－sinx=－F(x),

∴F(x)为奇函数,F(x)在(0,+∞)上有最大值7.

∴F(x)在(－∞,0)上有最小值－7.

∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－4.

答案: C

5.如果≠kx对一切x≥15均成立,则有

A.k≤0　　　　　 B.k≤0或k>　　　C.k≤0或k>　　　D.0≤k<

解析: 令y=,y=kx,显然k≤0时成立,

由k²x²－x+5=0(k>0),

由Δ=0,得k=;

由得x=10,而x≥15,

∴当x=15时,k=.

∴k≤0或k>.

答案: C

6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:

①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－);④y=f(－x+1).

其中与图(b)所对应的函数解析式为

A.①②　　　　　 B.②③　　　　　　C.③④　　　　　　D.①④

解析: ∵图形(a)、(b)关于y轴对称,

∴图(b)的函数解析式为y=－f(x).

∵f(x)=sinπx,

∴①y=f(2－x)=sinπ(2－x)=sin(2π－πx)=－sinπx=－f(x)成立.

②y=f(x+1)=sinπ(x+1)=sin(π+πx)=－sinπx=－f(x).

③y=f(x－)=sinπ(x－)=sin(πx－)=－cosπx≠－f(x).

④y=f(－x+1)=sinπ(－x+1)=sin(π－πx)=sinπx=f(x).

故函数解析式①②满足图(b).

答案: A

7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.05¹⁵≈2.08)

A.412　　　　　　B.482　　　　　　 C.500　　　　　　 D.512

解析: 500(1+5%)¹⁵=0.1a(1+1.05+1.05²+…+1.05¹⁴),

a=≈482(元).

答案: B

8. 已知F₁、F₂分别是双曲线－=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为

A.(1,3]　　　　　　　B.(0,3]　　　　　　　C.(1,2]　　　　　　　D.(1,+∞)

解析: ∵PF₂－PF₁=2a,

∴==PF₁++4a≥2+4a=8a,

其中PF₁=2a时等号成立.

又设P(x,y)(x≤－a),则由第二定义,得

PF₁=(－x－)e=－ex－a≥c－a,

即2a≥c－a,∴e=≤3,又∵e>1,∴1<e≤3.

答案: A

9.设函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有

A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根

B.四个实根分别为x_i=i(i=1,2,3,4)

C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根

D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根

解析: f(x)=0有四根x_i=i(i=1,2,3,4).故在区间(1,2),(2,3),(3,4)必存在极值点,使f′(x)=0,故选A.

答案: A

10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为

解析: 连结OP,设∠AOP为θ角,

则=OP·sin=sin,

即d=2sin(0≤θ≤2π).

答案: C

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

数　学　

第Ⅱ卷　（非选择题　共100分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）

11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有___________种.

解析: 从7种不同的氨基酸中选3种，有种选法，这3种氨基酸的不同位置有2种，即·2=70.

答案: 70

12.设不等式组所围成的平面区域的面积为S,当6≤S≤22时,a的取值范围是___________.

解析: 作出不等式组表示的可行域.

由即A(2,5).

该不等式组所表示的可行域是:直线x+2y=12的下方;直线2x－y+1=0的下方;y轴的右边,直线x=a的左边;x轴上方的区域.先从特例探求,考查梯形OBAC的面积.

S=(1+5)·2=6,满足S的下界.

∴a=2是最小值;

要使S取最大值22,则S_梯形ABDE=16.

∴S_梯形ABDE=［5+(6－)］(a－2)=16.

当a>2时,6－>0,解得a=6,

∴a_max=6,故a∈［2,6］.

答案: ［2,6］

13.△A′B′C′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC的直观图,设

△A′B′C′的面积为S′,△ABC的面积为S,则=_______.

解析: ==.

答案:

14.设x₁、x₂∈R,定义运算:x₁x₂=(x₁+x₂)²－(x₁－x₂)²,若x≥0,常数m>0,则动点P(x)=的轨迹方程是_______.

解析: y===,∴y²=2mx(y≥0).

答案: y²=2mx(y≥0)

15. 记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=min{x, }也在变化,则t的最大值为___________.

解析: 若x≤,

则t=x,t²=x²≤x·≤=.

故t≤,当且仅当x=y=时取“＝”；

若≤x,

则t=,t²=()²≤≤.

故t≤，当且仅当x=y=时取“＝”.

综上可知,当x=y=时,t取最大值为.

答案:

16.设x、y∈R,且满足则x+y=___________.

解析: 由(y－1)²⁰⁰⁵+2004(y－1)=1,

变形得(1－y)²⁰⁰⁵+2004(1－y)=－1,

得知x－1=1－yx+y=2.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是P_k(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,

(1)求二人平局的概率P.

(2)证明P≥;并证明如果P=,则P_k=(k=1,2,3,4,5,6).

(1)解:P=P₁²+P₂²+…+P₆².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)证明:∵P₁+P₂+…+P₆=1,

(P₁－)²+(P₂－)²+…+(P₆－)²

=P₁²+P₂²+…+P₆²－ (P₁+P₂+…+P₆)+

=P－≥0,

∴P≥,当P=时,P₁=P₂=…=P₆=.　　　　　　　　　　　　　　12分

　 12分

18.(本小题满分14分)

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CC₁上的一点.

(1)求证:不论P在侧棱CC₁上何位置,总有BD⊥AP;

(2)若CC₁=3C₁P,求平面AB₁P与平面ABCD所成的二面角的正切值;

(3)当P点在侧棱CC₁上何处时,AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分线?

(1)证明:∵AP在底面ABCD内的射影为AC,在正方形ABCD中AC⊥BD,∴AP⊥BD.

3分

(2)解:延长B₁P与BC的延长线交于点M,连结AM,过B作BN⊥AM于点N,连结B₁N,则∠B₁NB即为所求二面角的平面角,设AB=a,则BM=3a,

∴BN=a.

∴tan∠B₁NB==.　　　 　　　　　　　　　　　　　　8分

(3)解:设AB=a,C₁P=x,要使AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分线,则∠PAB₁=

∠PAC,

∴cos∠PAB₁=cos∠PAC,

即=,

解得x=a,

∴P到C₁的距离是底面边长的.　　　　　　　　　　　　　　 12分

19.(本小题满分12分)

如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a_ij(i≥j,i、j∈N^*).

,

,,

……

(1)试写出a_ij关于i、j的表达式,并求a₈₃;

(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.

解:(1)由条件易知

第i行的第1个数为

a_i1=+(i－1)=,

第i行的第j个数为a_ij=()^j－1,

∴a₈₃=×()²=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)设数阵中第n行的所有数之和为A_n,

则A_n=(1+++…+)

=·=－×.

设所求数之和为P,则P=(1+2+…+n)－ (1·2^－1+2·2^－2+…+n·2^－n).

设S=1·2^－1+2·2^－2+3·2^－3+…+n·2^－n,

则=1·2^－2+2·2^－3+3·2^－4+…+n·2^－(n+1)

=－n·2^－(n+1)

=1－－,

则P=－(1－－),

=++－1

=+.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

　　　　　12分

20.(本小题满分16分)

已知集合A={(x,y)y≥x－a},B={(x,y)y≤－ax+2a}(a≥0).

(1)证明A∩B≠;

(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.

(1)证明:显然(0,a)∈A.

当x=0时,y=－ax+2a=2a,

∴(0,2a)∈B.∴A∩B≠.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解:如左上图,当2≤a≤4时,A∩B中点组成如图所示△EFD,

易得E(0,2a)、F(－,)、D(,)、G(0,a).

∴S_△EFD=S_△EFG+S_△FGD

=a·+a·

=.

当0<a<2时,A∩B中点组成如右上图所示四边形EFGH.

易得E(0,2a)、F(－,)、G(a,0)、H(,)、D(－2,0)、Q(2,0),

而S_{四边形EFGH}=S_△DEQ－S_△DFG－S_△GHQ

=×4×2a－(a+2)·－ (2－a)·

=.

当a=0时,A∩B={(0,0)}.

显然适合上式,

∴S=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

当0≤a<2时,S=,

∴S′=

==

∴S=在［0,2)上是增函数.∴0≤S<.

当a≥2时,S=,

∴S′===>0,

∴S=在［2,4］上是增函数.∴≤S≤.

综上所述,当a=4时,A∩B中点组成图形面积取得最大值.　　　　　　　　 12分

21.(本小题满分16分)

(理)已知椭圆C₁:+y²=1的左、右顶点分别是A、B,点P是双曲线C₂:－y²=1在第一象限部分上的一点,连结AP交椭圆C₁于点C,连结PB并延长交椭圆C₁于点D.

(1)若直线PA与PB的斜率分别为k₁、k₂,求证:k₁·k₂是定值;

(2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;

(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.

(1)证明:设P点的坐标为(x₀,y₀),则x₀²－4y₀²=4.

由A(－2,0)得k₁=,

由B(2,0)得k₂=,

∴k₁k₂===为定值.　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)解:∵△ACD与△PCD面积相等,

∴C为AP中点.

设P(x₀,y₀)(y₀>0),则C(,).

∴

②×16+①得x₀²－2x₀－8=0,即x₀=4或x₀=－2.

易知x₀=－2不舍题意,∴x₀=4.

∴P(4, )、C(1,).

直线PB方程为y=(x－2).

由解得D(1,－).

∴直线CD的倾斜角为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(3)解:设直线PA、PB斜率分别为k₁、k₂,

直线PA、PB的方程分别为PA:y=k₁(x+2)和PB:y=k₂(x－2).

由得(1+4k₁²)x²+16k₁²x+(16k₁²－4)=0.

此方程两根分别为A、C横坐标,

所以x_C－2=－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

由得

(1+4k₂²)x²－16k₂²x+(16k₂²－4)=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

此方程两根分别为B、D横坐标,

所以x_D+2=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

②－①得x_D－x_C=+－4

=+－4

=+－4=0.

∴x_C=x_D.∴直线CD的倾斜角不会随着点P的运动而改变.　　　　　　　　 14分