2006年黄冈市数学高考模拟试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．含有三个实数的集合可表示为{a, ,1}，也可表示为{a,a+b ,0}，则a +b的值为

A．0　　　　　　  B．1　　　　　　  C．—1　　　　　　　 D．

2．由下列各组命题构成“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是

A．p：3是偶数，q：4是奇数　　　　   B．p：3+2=6，q：5＞3

C．p：a {a,b}，q：{a}{a,b}　　　  D．p：QR，q：N={正整数}

3．　　　　　　　  ABCD为正方形，PD平面ABCD，则二面角A－PB－C的大小范围是

A．（0，180）　 B．（60，180） 　C．[90，180]　D．（90，180）

4．不等式x+x+x+x＜0的解集是

A．　 　　　B．R　　　　C．R　　  D．{xxR且x0}

5．设），且sin等于

A．　　　　B．—　　　 C．　　　　D．—或

6．若能通过适当选择常数a、b，使lim存在，则常数c是

A．正数　　　 B．零　　　　C．负数　　　 D．不能判断c的符号

7．如果～B（n，P），其中0＜P＜1，那么使P（=k）取最大值的k值

A．　　　　　　　　　　　　　　 有且有1个　　　　　　 B．有且只有2个　

C．不一定有　　　　　　　　　　　 D．当（n+1）P为正整数时有2个

8．在等差数列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，则此数列的前13项之和为

A．156　　　　B．13　　　　C．12　　　　 D．26

9．已知在中，·＜0，S△ABC =，=3，=5，则

　　　　　　　A．30　　　 B．60　　　 C．150　　　 D．30或150

10．甲、乙分别将1000元按不同方式同时存入银行，甲采用的是一年期整存整取定期储蓄，年利率为2.25﹪，1年后将本利一并取出，并全部存入下一期这种定期储蓄，下一年仍存这种存款；乙采用的是3年期整存整取定期储蓄，年利率为2.70﹪，若1.02251.069，则3年后两人所得的利息（不计利息税）

　　　 A．相等　　　B．甲比乙多　　　C．甲比乙少12元　　 D．甲比乙少16.5元

11．已知f（x）=（x－a）（x－b）－2，并且是方程f（x）=0的两根，实数a、b、、 的大小关系可能是

　　　 A．＜a＜b＜　 B．a＜＜＜b 　C．a＜＜b＜　 D．＜a＜＜b

　　　 12．ABCD为四边形，动点p沿折线BCDA由点B向A点运动，设p点移动的路程为x，

△ABP的面积为S，函数S=f（x）的图象如图，给出以下命题：

①ABCD是梯形；

②ABCD是平行四边形；　　　　　　　　　　　　　　　　

③若Q为AD的中点时，那么△ABQ面积为10；　　　　　

④当9x14时，函数S=f（x）的解析式为56－4x.

其中正确命题为　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　

A．①②　　　　　 B．②③　　　　　  C．②④　　　　　 D．①③④

第II卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案直接填在题中横线上．

13．有15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是　　　　　　　　．

14．给出下列命题：①若a，b共线，且 a = b ，则（a－b）//（a+b）；②已知a=2e，b=3e，则a=b；③若a=e－e，b=－3 e+3 e，且e e，则 a =3 b ；④在△ABC中，AD是中线，则 = =2．其中，正确命题的序号是　　　　　　　 ．

15．如图，在正四棱柱ABCD—ABCD中，E、F、G、H分别是棱CC、CD、DD、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，

则M满足条件　　　时，有MN//平面BBDD。　　　　 

16．已知点F、F分别是双曲线－=1的左、右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

x0 x=0

计算函数f（x）= 　　　　 , 在x=0处的导数。

　　　　　　　　　　　

18．（本小题满分12分）

已知△ABC中， 三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积为S，且

2S=（a+b）²－c²，求tanC的值。

19．（本小题满分12分）

四棱锥P－ABCD中，底面是正方形，PA垂直于底面，过A的截面AEFG分别交PB、PC、PD于E、F、G，且PC截面AEFG。

（1）求证：点A、B、C、D、E、F、G在同一球面上；

（2）若PA=AB=1，求截面AEFG截（1）中的球的截面面积。

20．（本小题满分12分）

学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用A、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。

（1）试以A表示A；（2）若A=200，求{A}的通项公式；

（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？

21．（本小题满分12分）

如图Rt△ABC中，CAB=90，AB=2，AC=，DOAB于O，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 PA + PB 的值不变。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=，求的取值范围。

22．（本小题满分14分）

已知函数f（x）=，aR．

(1)当x[a+1，a+2]时，求f（x）的取值范围；

(2)证明：函数y=f（x）的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；

(3)我们利用函数y=f（x）构造一个数列{x}，方法如下：对于给定的定义域中的x，令x=f（x），x=f（x），…，x=f（x－1），…

在上述构造数列的过程中，如果x（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x不在定义域中，则构造数列的过程停止。

①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x}，求实数a的取值范围；

②如果取定义域中任一值作为x，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x}，求实数a的值。

2004黄冈市数学高考模拟试卷答案

1． C　 2．B　 3．D　 4．A　 5．C　 6．A　 7．D　 8．D　 9．C

10．C　11．A　12．D

13．　　　 14．①③④　　　 15．M线段FH　　　 16．（1，1+）

X=0

17．因为f（）=（）·sin  (0)， = f（）－f（0）=（）×sin ,所以 ==· sin，所以=f（0）=（· sin）=0，即　　=0.

18．依题意，得absinC=a+b－c+2ab。由余弦定理知：ab－c=2abcosC。

absinC=2ab(1+cosC)，即sinC=2（1+cosC）.

sincos=2cos　　

又0＜C＜180 ，cos0，sin=2cos，即tan=2.

tanC===－.

19．如图，因为ABCD为正方形，PC截面AEFG，则AFPC，利用

直径所对的圆周角是直角，猜想这个球的球心在正方形中心O，可知

A、B、C、D、F在以O为球心，AC为半径的球面上，以下只需证

明G、E到O的距离也是AC 即可。

证明：（1）设正方形ABCD中心为O，AC=2r，连AF，因为PC平面AEFG、AF平面AEFG，所以PCAF，Rt△AFC中，OF=AC =r。又CDAD，CDPA，所以CD平面PAD；AG平面PAD，所以CDAG，PCAG，所以AG平面PCD，GC平面PCD，所以AGGC，OG=AC =r；同理可证：OE=r，所以A、B、C、D、E、F、G各点到O的距离均为r，它们同在以O为球心、AC为半径的球面上。

（2）因为PA=AB=1，所以r=，因为平面AEFG截球，由（1）知A、E、F、G在球面上，所以AEFG为截面圆上的四个点，又AG平面PCD，FG平面PCD，因为PC=，所以AF===，截面圆的面积S=（）=。

20．（1）依题意，得

　　　　　　　　　　　  ①

将B=1000－A代入①，得A=0.5A+300　　②

（2）设A+=0.5（A+），即A=0.5A－0.5，得－0.5=300，

=－600.{ A－600}是以A－600=200－600=－400为首项，公比为0.5的等比数列。 A－600=－400×0.5， A=600－400×0.5。

（3） A= B，且A+ B=1000， A=500，得600－400×0.5=500。0.5=0.5，n－1=2，n=3。即第三个星期一时，选A菜与选B菜的人数相等。

21．（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立如图所示的直角坐标系。 PA + PB = CA + CB =+=2，所以动点的轨迹是椭圆，设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=，c=1，b=1，曲线E的方程为：+y=1。

（2）设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程化简整理得：（2k+1）x+8kx+6=0.设点M、N的坐标分别为（xy），（xy），则

① ② ③

　　

（i）当l与y轴重合时，==；

（ii）当l与y轴不重合时，由①得k>，又===,

x<x<0或x>x>0，0<<1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　=++2=++2

　　　　==，而k>，6<3(2+)<8，4<<，由4<++2<得

2<+<，　　 解得<<1，

综合（i）（ii）得的取值范围为[，1。

22．f(x)=－1－在[a+1，a+2]上是增函数，又f (a+1)=－2，f (a+2)=－，

　　　　f (x)[－2，－]

(2)证明：设点P（x，y）是函数y=f (x)图象上任一点，则y=－1－，点P关于点（a，－1）的对称点为P（2a－x，－2－y）.

f (2a－x)=－1－

　　　　f (2a－x)=－2－y，即点P在函数y=f (x)的图象上，所以函数y=f (x)的图象关于点（a，－1）成中心对称图形。

（3）①根据题意，只需xa时，f(x)=x有解，即有解，即x+(1－a)x+1－a=0有不等于a的解。

将x=a代入方程左边，得左边=1，故方程不可能有解x=a。

由△0时，得a－3或a1，即为所求实数a的取值范围。

②根据题意， 在R中无解，即xa时，（1+a）x=a+a－1无解。

由于x=a不是方程（1+a）x= a+a－1的解，所以对于任意xR，（1+a）x= a+a－1无解。

a=－1，即为所求a有值。