2006年黄浦区高考模拟考

数 学 试 卷

　　　　　　  （完卷时间：120分钟 满分：１５０分）　２００６.４.２０上午

题号	一	二	三	总分
得分

一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）

1、计算：＝　　　　　 .

2、已知：则的值是　　　　　 .

3、若常数ｂ满足则　　　　 .

4、若，且则ｋ的值是　　　　 .

5、函数的最小正周期为　　　　 .

6、函数在区间上的最小值为　　　　 .

7、［理］（展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有　　　项.

［文］不等式的解集是　　　　　　 .

１０、　　　 某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是　　　　　　（结果用既约分数表示）.

9、从集合中任选两个不同元素作为椭圆方程中的ｍ和ｎ，其中落在矩形Ｂ内的椭圆有　　　个.

１２、　　　 已知双曲线的焦点为，点Ｍ在双曲线上，且则点Ｍ到ｘ轴的距离为　　　 .

11、已知四面体ABCD,沿棱AB、AC、AD剪开，铺成平面图形，

得到（如图），试写出四面体ABCD应满足的一个性质：

　 　　　　　　　　　　　　　　　　  .

１３、　　　 已知集合A= ，这里a，b,c,d为实数，若，且，则函数可以是　　 （只有写出一个满足条件的函数）.

二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分）

13、已知函数f(x)= 满足，则实数a的值为　 （　 ）

A． 1　　　　 B. 　　　 C. 　　　　D. -1

14、“a=b”直线与圆 的　　　　　　　  （　　）

　 A. 充分不必要条件，　　　　　　　　　　  B .必要不充分条件

 C.  充要条件　　　　　  　　　　　　　　 D. 既不充分又不必要条件

15、已知两线段,b=,若以a,b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围为（　）

  A.　　　　 B .　　　　　　 C. 　　　　　　　　D.

16、设b>0,二次函数的图像为下列之一，

则a的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　）

A. 1　　　　  B. 　　　　 C. 　　　　 D.

三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题16分，第22题18分，共86分）

17、已知向量且A、B、C三点共线，求的值.

18、已知数列的通项公式为.求

（1）求数列中的最大项及其值；

（2）求数列中的最小项及其值.

19、【理】在直棱柱中，已知

（1）求使的充要条件（用表示）；

（2）求证为锐角；

（3）若则是否可能为？证明你的结论.

【文】设为正数，直角坐标平面内的点集

（1）画出A所表示的平面区域；

（2）在平面直角坐标系中，规定时，称为格点，当时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；

（3）点集A连同它的边界构成的区域记为，若圆，求的最大值.

20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与去年促销费（万元）（）满足.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2006年该产品的利润万元表示为年促销费（万元）的函数；

（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

21、已知抛物线（为实常数）.

（1）求所有抛物线的公共点坐标；

（2）当实数取遍一切实数时，求抛物线的焦点方程.

【理】（3）是否存在一条以轴为对称轴，且过点的开口向下的抛物线，使它与某个只有一个公共点？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

【文】（3）是否存在直线（为实常数），使它与所有的抛物线都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.

22、已知函数的定义域为，对任意，有恒等式；且当时，.

（1）求的值；

（2）求证：当时，恒有；

（3）求证：上为减函数；

【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】

（4）由上一小题知：上的减函数，因而的反函数存在，试根据已知恒等式猜想具有的性质，并给出证明.

2006年黄浦区高考模拟考　数 学 试 卷

参考答案

　　　　　　  （完卷时间：120分钟 满分：１５０分）　２００６.４.２０上午

题号	一	二	三	总分
得分

一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）

1、计算：＝　　　　　 .

2、已知：则的值是　　　　　 .

3、若常数ｂ满足则　　　　 .

4、若，且则ｋ的值是　　　　 .

5、函数的最小正周期为　　　　 .

6、函数在区间上的最小值为　　　　 .

7、［理］（展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有　　　项.

［文］不等式的解集是　　　　　　 .

８、　　　　　　  某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是　　　　　　（结果用既约分数表示）.

9、从集合中任选两个不同元素作为椭圆方程中的ｍ和ｎ，其中落在矩形Ｂ内的椭圆有　　　个.

１１、　　　 已知双曲线的焦点为，点Ｍ在双曲线上，且则点Ｍ到ｘ轴的距离为　　　 .

11、已知四面体ABCD,沿棱AB、AC、AD剪开，铺成平面图形，

得到（如图），试写出四面体ABCD应满足的一个性质：

　 　　 四面体的每组对棱相等（答案不唯一，可填“四面体的四个面是四个全等三角形”；或填“四面体每个顶点为公共顶点的三个面角之和为”） .

１４、　　　 已知集合A= ，这里a，b,c,d为实数，若，且，则函数可以是　　 （只有写出一个满足条件的函数）.

二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分）

13、已知函数f(x)= 满足，则实数a的值为　 （ B　）

A． 1　　　　 B. 　　　 C. 　　　　D. -1

14、“a=b”直线与圆 的　　　　　　　 （  A　）

　 A. 充分不必要条件，　　　　　　　　　　  B .必要不充分条件

 C.  充要条件　　　　　　　　  　　　　　 D. 既不充分又不必要条件

15、已知两线段,b=,若以a,b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围为（D　）

  A.　　　　 B .　　　　　　 C. 　　　　　　　　D.

16、设b>0,二次函数的图像为下列之一，

则a的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 B　 ）

A. 1　　　　  B. 　　　　 C. 　　　　 D.

三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题16分，第22题18分，共86分）

17、已知向量且A、B、C三点共线，求的值.

，----------------------------4分

三点共线，存在实常数，使-----------------------------------------8分

-----------------------------------------------------------------------------------------------12分

18、已知数列的通项公式为.求

（1）求数列中的最大项及其值；

（2）求数列中的最小项及其值.

当时，从而

故为数列的最大项----------------------------------------------------------------------4分

随的增大而减小，又--------------------------------------------8分

中与距离最近的数是

故是数列的最小项--------------------12分

19、【理】在直棱柱中，已知

（1）求使的充要条件（用表示）；

（2）求证为锐角；

（3）若则是否可能为？证明你的结论.

【文】设为正数，直角坐标平面内的点集

（1）画出A所表示的平面区域；

（2）在平面直角坐标系中，规定时，称为格点，当时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；

（3）点集A连同它的边界构成的区域记为，若圆，求的最大值.

------2分

即的充分条件是---------------------------------------------6分

，

为锐角-------------------------------------------------------------------8分

代入上式得，

解得---------------------------------------------------------------11分

若解当时，--------------14分

[文] 是三角形三边长---------------------------------------8分

点集构成的平面区域为等腰直角三角形，如上图阴影部分表示（不包括边界）。

当时，内有3个格点--------------------------------------------------------10分

为包括边界的三角形区域，形内的最大圆即是的内切圆，其半径为

-------------------------------------------------------------------------14分

20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与去年促销费（万元）（）满足.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2006年该产品的利润万元表示为年促销费（万元）的函数；

（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

每件产品的成本为元，故2006年的利润

-------------------------------------------4分

=（万元），----------------------------------7分

----------------------------11分

等号当且仅当，即（万元）时成立。

故2006年该产品利润的最大枝为21万元，此时促销费为3万元。----------------------14分

21、已知抛物线（为实常数）.

（1）求所有抛物线的公共点坐标；

（2）当实数取遍一切实数时，求抛物线的焦点方程.

【理】（3）是否存在一条以轴为对称轴，且过点的开口向下的抛物线，使它与某个只有一个公共点？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

【文】（3）是否存在直线（为实常数），使它与所有的抛物线都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.

将抛物线的方程该写成，

所有的抛物线过完点，即是所有抛物线的公共点。-------------4分

，即

抛物线的顶点为，焦点坐标为

消去得焦点的轨迹方程：-----------------------------------------------------10分

[理] 以轴为对称轴，且过点的开口向的抛物线可写成　　------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

设他与抛物线只有一个公共点，则方程

即

有两个相等的实根，----14分

由故当时，存在一条以轴为对称轴且过点的开口向下的抛物线，与只有一个公共点------------------------------------------------16分

[文] 设与一切有公共点，则方程，

即有实根

对一切成立。--------------------------------------------------------------------------------------13分

从而

当时直线与一切都有公共点。---------------------------------------16分

22、已知函数的定义域为，对任意，有恒等式；且当时，.

（1）求的值；

（2）求证：当时，恒有；

（3）求证：上为减函数；

【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】

（4）由上一小题知：上的减函数，因而的反函数存在，试根据已知恒等式猜想具有的性质，并给出证明.

在已知等式中含，得，----------理3分，文5分

取得

但，-------------------------------------------------理6分，文10分

设，并令，则

于是　　

在上为减函数----------------------------------------------------理12分，文18分

在的定义域内，恒有-----------理14分

证明如下：设，则

且由题意设

-------------------------------------------------理18分