2005－2006学年度南通市九校（学科基地）联考数学试卷
（南通中学 南通一中 启东中学 海门中学 通州中学 如东中学 栟茶中学 如皋中学 海安中学）
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共10页。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）=
（
=0，1，2，…，
）
一组数据
的方差
其中
为这组数据的平均值
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1．设集合
A∪(CIB）= （ ）
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}
2．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为 ( )
A．
B．
C．4
D．－4
3．函数
，(x∈R)的反函数为
( )
A．
， x∈R B．，x∈(0，+∞)
C．
， x∈R D．，x∈(0，+∞)
4．在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为
( )
A．
B．
C．
D．
5．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ( )
①若
②若
③若
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知数列｛an｝中，
，(∈N+)，则在数列｛an｝的前50项中最小项和最大项分别是
( )
A．a1 ，a50 B．a1， a8 C．a8， a9 D．a9， a50
7．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的
( )
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
8．已知sinx－siny= －
，cosx－cosy= ，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是 ( )
A．
B．－ C．± D．
9．已知点P(m，3)是抛物线y=x2+4x+n上距点A(－2,0)最近一点，则m+n= ( )
A．1 B．3 C．5 D．7
10．已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为
（O为原点），则两条渐近线的夹角为
( )
A．30º B．45º C．60º D．90º
11．方程
所表示的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
12．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 ( )
A．48 B．44 C．36 D．24
2005－2006学年度南通市九校（学科基地）联考数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第二卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题纸上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 题号 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 结分人 | 复分人 |
| 得分 |
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四、（21分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在答题卡相应位置.
13．函数
的单调递减区间为
．
14．若不等式x－4+3－x<a的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．
15．已知
的展开式中
的系数与
的展开式中x3的系数相等，
则
=
16．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
17．正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的
倍，则侧面与底面所成锐二面角
等于 ．
18． 以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若
则动点
的轨迹为椭圆；
③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大小题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（本小题满分12分）
已知向量
(
) 和
=(
)，
∈［π，2π］．
(1) 求
的最大值；(2)当
=
时，求
的值．
20、(本小题满分12分)口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色
球多于白色球．从袋子中取出２个球，若是同色的概率为
，求：
(1) 袋中红色、白色球各是多少？
(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？
21．(本小题满分14分)如图正方体在ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，B1C1，AA1的中点，
(1) 求证：EF⊥平面GBD；
(2) 求异面直线AD1与EF所成的角 ．
22．(本小题满分14分)已知椭圆C的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
，过椭圆C的右焦点F的直线
,又
与
交于P点，设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B．
（１） 当
与夹角为
且
时，求椭圆C的方程．
（２） 求
的最大值．
23．(本小题满分14分)设
=
(a>0)为奇函数，且
min=，数列{an}与{bn}满足 如下关系：a1=2， 
，
．
(1)求f(x)的解析表达式；
(2) 证明：当n∈N+时， 有bn
．
九校联考数学参考答案
一．选择题：
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．C 12．B
二．填空题：
13．(0,1) 14．(－∞，1］ 15．
16．60 17．
18．③、④
三．解答题：
19．解：(1) 
(2分)
=
=
=
(4分)
∵θ∈［π，2π］，∴
，∴
≤1
max=2
．
(6分)
(2)
由已知
,得
(8分)
又
∴
(10分)
∵θ∈［π，2π］∴
，∴
． (12分)
20．解：（1）令红色球为x个，则依题意得
,
（3分）
所以
得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个．
（ 6分）
（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A，均为白色球的事件为B，
则P（B）=1－－P（A）＝
＝
（12分）
21．解法一：(1)取BC的中点H，连EH，易得EH是EF在平面AC上的射影，
∵BD⊥EH，∴由三垂线定理，得 EF⊥BD； (4分)
又∵EF在平面AB1上的射影是B1E，由△BB1E∽△ABG，得B1E⊥BG，
∴由三垂线定理，得 EF⊥BG，
∵BG∩BD=B，∵EF⊥平面GBD． (8分)
(2)取C1D1的中点M，连EM，易得EM∥AD1，
所以∠EFM就是异面直线AD1与EF所成的角， (11分)
∵MF∥BD，∴EF⊥MF
在Rt△EFM中，由EM=
，(a为正方体的棱长)，EF=
，得
∠EFM=30º．即异面直线AD1与EF所成的角为30º． (14分)
解法二：(向量法)
(1) 以AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(2，1，0)，F(1，2，2)，G(2，,0，1)
D1(0，0，2 ) (4分)
∵
(2，2，0)·(1，－1，－2)=0，
(0，－2，1)·(1，－1，－2)=0
∴
，
，又∵BG∩BD=B，∵EF⊥平面GBD．
(8分)
(2)
=(－2，0，2)，
=(1，－1，－2)
=
，
即异面直线AD1与EF所成的角为30º． (14分)
22．解：（１）
故
（6分）
（２）
联立
得
（8分）
设A分
的比为
，则A
代入
，整理化简得：
（12分）
即
的最大值为
（14分）
23．解：由f(x)是奇函数，得 b=c=0， (3分)
由f(x)min=，得a=2，故f(x)= 
(6分)
(2) =
，
=
=
(8分)
∴
=
=
=…=
，而b1=
∴=
(10分)
当n=1时， b1=，命题成立，
(12分)
当n≥2时
∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋
≥1+
=n
∴＜，即 bn≤．
(14分)
注：不讨论n=1的情况扣2分．