湖北省黄冈中学2006年高三年级三月检测卷

数　 学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，`只有一项是符合题目要求的.

1.设集合U={(x,y)｜x∈R,y∈R},A={(x,y)｜2x-y+m>0},B={(x,y)｜x+y-n≤0}，那么点P(2，3)∈A ∩(C_UB)的充要条件是

　　A.m>1-且n<5　　　　　　　　　　 B.m<-1且n<5

　　C.m>-1且n>5　　　　　　　　　　　　D.m<-1且n>5

2.已知cos31°=m,则sin239°·tan149°的值是

A.　　　　　　B.　　　 C.　　　　　　D.-

3.若a、b、c是互不相等的实数，且a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，则a：b：c等于

A.(-2)∶1∶4　　　　B.1∶2∶3　　　 C.2∶3∶4　　　 D.(-1) ∶1∶3

4.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x²+y²-4x-2y-4=0的周长，则m·n的取值范围是

　　A.(0，1)　　　　　　B.(0，1]　　　　C.(-∞，1)　　　D.(-∞，1]

5. 设函数f(x)=1og_a^x(a>0且a≠1),若f(x₁·x₂·x₃·…·x₂₀₀₆)=50,则f(x₁²)+f(x)+f(x)+…+f(x)的值等于

A.2500　　　　　　　B.50　　　　　　　　C.100　　　　　 D.2log

6. 设z∈C，z=(1-i)²+,则(1+z)⁷展开式的第5项是　　

  A.35i　　　　　　　 B.-21i　　　　　C.21　　　　　　　　D.35

7. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别在A₁D、AC上，且A₁E=A₁D，AF=AC，则

　A.EF至多与A₁D、AC之一垂直　　　B.EF是A₁D、AC公垂线

　C.EF与BD₁相交　　　　　　　　　D.EF与BD₁异面

8. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ζ表示取出的球的最大号码，则Eζ等于

A.4　　　　　　　　 B.5　　　　　　　　 C.4.5　　　　　　　 D.4.75

9.若x∈R，n∈N^*，定义： =x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如M³_-5=(-5)·(-4)(-3)=-60,则函数f(x)=M⁷_x-3cos

　A.是偶函数不是奇函数　　　　　　　　　　　　　　B.是奇函数不是偶函数　　

　　　C.既是奇函数又是偶函数　　　　　　　　　　　D.既不是奇函数也不是偶函数

10.已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F₁、F₂,抛物线C以F₁为顶点、F₂为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若e｜PF₂｜=｜PF₁｜,则e的值为

A.　　　　　　　　B.　　　　　C. 　　　　　D.以上均不对

11.函数f(x)=ax³+bx²-2x(a、b∈R,且ab≠0)的图像如图所示，且x₁+x₂<0,则有

　A.a>0,b>0　　　　　　　　　 B.a<0,b<0

　C.a<0,b>0　　　　　　　　　 D.a>0,b<0

12.一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，再后退2步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以一步的距离为一个单位长，令P(n)表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是　A. P (3)=3　　　B. P (5)=1　　　　　C. P (101)=21　　　　　 D. P (103)<P(104)

　　　　　　　 t第Ⅱ卷(非选择题，共90分)　　　　　　　

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13.已知在整数集合内，关于x的不等式2x²-4<2^2(x-a)的解集为{1}，则实数a的取值范围是_________.

14.若半径为R的球与正三棱柱的各个面相切，则球与正三棱柱的体积比是________.

15.把座位编号分别为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至少分1张，至多分两张，且分得两张票必须是连号的，那么不同的分法种数是

　_________.

16.已知x∈N^*，f(x)= ，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D的元素是_________.(写出所有可能的数值)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)已知向量m=(1，1)，向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1.

(1)求向量n；

(2)设向量a=(1，0)，向量b=(cosx,2cos²()),其中0<x<，若n·a=0,试求｜n+b｜的取值范围.

18.(本小题12分)设函数f(x)=的图像关于原点对称，f(x)的图像在点P(1，m)处的切线 的斜率为-6，且当x=2时f(x)有极值.

　(1)求a、b、c、d的值；

　(2)若x₁、x₂∈［-1，1］，求证：f(x₁)-f(x₂)≤.

19.(本小题满分12分)新上海商业城位于浦东陆家嘴金融贸易区中心地带，它由第一八佰伴、时代广场等18幢高层商厦，10000平方米中心茶园，九座天桥以及600米长的环形步行街有机组成，是一座集购物、餐饮、娱乐、休闲、办公于一体的综合性、多功能的现代化商城，其中某一新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每卖出商品所收到的总金额)为60万元，根据经验，各部商品第1万元营业额所售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2，商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c(19≤c≤19.7)万元，商场分配给经营部的日营业额为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业给三个经营部？各部分别安排多少名售货员？

表1　　 各部每1万元营业额所需人数表　　表2　　 各部每1万元额所得利润表

部门	人数	部门	利润
百货部	5	百货部	0.3万元
服装部	4	服装部	0.5万元
家电部	2	家电部	0.2万元

20.(本小题满分12分)如图,正方形A₁BA₂C的边长为4，D是A₁B的中点，E是BA₂上的点，将△A₁DC及△A₂EC分别沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且二面角A—DC—E为直二面角.

(1)求证：CD⊥DE；

(2)求AE与面DEC所成角的正弦值；

(3)求点D到平面AEC的距离.

21.(本小题满分12分)如图,P是以F₁、F₂为焦点的双曲线C：上的一点，已知

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P₁，P₂两点，若==0求双曲线C的方程.

22.(本小题满分14分)已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁=a(0<a<1),b₁=1-a.当n≥2时，a_n=a_n-1b_n,b_n=.

(1)证明：对任意n∈N*,有a_n+b_n=1;

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)记c_n=a为数列{c_n}的前n项和，求S_n的值.

数学(理科)参考答案

一、1.A　 2.B 3.A　　　 4.D　5.C 6.D　　7.B　　 8.C 9.B 10.C　　 11.A　12.D

二、13.2≤a<　　　　14.　 15.144　 16.-26，14，65

三、17.(1)令n=(x，y)，则

即，故n=(-1,0)或n=(0，-1)

(2)∵a=(1，0)n·a=0 ∴n=(0,-1) n+b=

故

　　　　　　　=1+

　　　　　　　=1+

　　　　　　　=1+

∵0<x<

则-1≤cos

18.(1)∵y=f(x)的图像关于原点对称，∴由f(-x)=-f(x)恒成立有b=d=0.

　　　则f(x)=　　又∵f‘(1)=-6,f‘(2)=0

　　　∴　　　　故a=2，b=0,c=0，d=0.

　　　(2)∵f(x)= f(x)<0,f(x)在［-1，1］

　上递减而x₁∈［-1，1］∴f(1)≤f(-1)　 即　同理可得｜f(x₂)｜≤　故

19.设商场分配给百货部、服装部、家电部日营业额分别为x、y、z万元(x、y、z∈N*)

依题意有：　　由①、②消去z得：y=35-,代入①得：z=25+

∴c=0.3x+0.5

19≤c19.7 ∴8≤x≤10　而x,y,z∈N*∴

　 故该商场分配营业额及各部售货员人数的方案有两种，分别为：

方案1：

部门	营业员	人数
百货部	8	40
服装部	23	92
家电部	29	58

方案2：

部门	营业员	人数
百货部	10	50
服装部	20	80
家电部	30	60

20.(1)∵A₁、A₂重合于A

∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE　　　　∴AC⊥DE

∵A—DC—E为直二面角，∴过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE，故CD为AC在面CDE上的射影，由三垂线定量的逆定理有：CD⊥DE.

　　(2)∵AF⊥画CDE，∴∠AEF为AE与面DEC所成的角，在RT△CAD

　　中，AD=2，AD=2，AC=4，∴DC=　 2　

又∴CD⊥DE，∴在正方形A₁BA₂C中，　 △DBE~△CA₁D,　 故

DE⊥AD.∴在Rt△ADE中，AE=3，故在Rt△AFE中，sin∠AEF=

∴AE与面DEC所成角的正弦值为.

　　(3)设D到面AEC的距离为d，则由V_D-AEC=V_A-DEC有：

　　AE·AC·d=CD·DE·AF　∴3×4d=2··

　　故d=即点D到平面AEC的距离为

21.(1)由得，即△F₁PF₂为直角三角形.

　　设，则=2r,于是有(2r)²+r²=4c²和2r-r=2a5×(2a)2=4c²e=.

　　(2)

　　则=x₁ x ₂+y₁y₂= x ₁ x ₂-4 x ₁ x ₂=-.　①

　　由+2=0得

　　∵点P(x,y)在双曲线=1,又b²=4a².

　　∴上式为.简化得：x₁x₂=　　②

　　由①、②得a²=2，从而得b²=8.故所求双曲线方程为

22. (1)证明：用数学归纳法证明.

　　①当n=1时，a₁+b₁=a+(1-a)=1,命题成立；②假设n=k(k≥1且k∈N^*)时命题成立，即a_k+b_k=1,则当n=k+1时，

a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=

　　∴当n=k+1时，命题也成立.综合①、②知，a_n+b_n=1对n∈N^*恒成立.

　　(2)解：∵a_n+1=a_nb_n+1=③∵数 列

　　(3)解：∵c_n=ab_n+1=a_n(a_nb_n+1)=a_na_n+1,

　　③式变形为a_na_n+1=a_n-a_n+1,∴c_n=a_n-a_n+1,

　　∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+…+(a_n-a_n+1)=a₁-a_n+1=a-

　　∴S_n=