江苏省南京市金陵中学2006年高三第三次模拟考试

　　　　　　　 数学试题 　　　　　2006.05.23

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．中国数学教育网　http://www.mathedu.cn

(1)设集合M＝{θθ＝，k∈Z}，N＝{xcos2x＝0，x∈R}，P＝{αsin2α＝1，α∈R}，则下列关系式中成立的是中国数学教育网  http://www.mathedu.cn　　　　　　　  　　　　　　　( A )

(A)P,\d\fo0 ((N,\d\fo0 ((M　　　 　　(B)P＝N,\d\fo0 ((M　　 　　 (C)P,\d\fo0 ((N＝M　　 　　(D)P＝N＝M

(2)下列四个函数中，值域是(－∞，－2]的一个函数是 　　　　　　　　　　　　 ( D )

(A)y＝－2x＋1(x＞)　　　　　　　　　　  　 (B)y＝－(x＋1)²－2(－1≤x≤0)

(C)y＝x＋(x＜－1)　　　　　　　　　　  　　(D)y＝log_0.5(x＋＋1)(x＞1)

(3)若实数m，n满足＜＜0，则下列结论中不正确的是　　　　　　　　　　　　　  ( D )

(A)m²＜n²　　　　　 　(B)mn＜n²　　　 　　 (C)＋＞2　　　　  (D)m＋n＞m＋n

(4)要得到函数y＝cot(－3x)的图象，可将y＝tan3x的图象　　　　　 　　　　　　 ( B )

(A)向右平移个单位　(B)向左平移个单位　(C)向右平移个单位  (D)向左平移个单位

(5)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要不充分条件是　　　 　　　　　　　( D )

(A)m∥α，n∥α　　 　(B)m⊥α，n⊥α　　　(C)m∥α，nα　 　(D)m，n与α所成角相等

(6)已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60^o，则直线xcosα－ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)²＋(y＋sinβ)²＝1的位置关系是　　　　　　　　　　　　 　　 ( C )

(A)相切　　　　　  (B)相交　　　　  　　 (C)相离　　　　 　　 (D)随α，β的值而定

(7)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值为 　　　　　　　　　( D )

(A)10　　　　　　　 (B)－10　　　　　　　 (C)6　　　　　　　　 (D)－6

(8)进入21世纪，肉食品市场对家禽的需求量大增，发展家禽养殖业成了我国一些地区发展农村经济的一个新举措．下列两图是某县2000～2005年家禽养殖业发展规模的统计结果，那么，此县家禽养殖数最多的年份是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 ( B )

(A)2000年　　　　  (B)2001年　　　　　  (C)2003年　　　　　  (D)2004年

(9)已知椭圆＋＝1上有n个不同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n．设椭圆的右焦点为F，数列｛P_nF｝是公差大于的等差数列，则n的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　( B )

(A)2007　　　　 　 (B)2006　　　 　　　　(C)1004　　　　　　　　(D)1003

(10)以正方体ABCD－A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( D)

(A)　　　　　　 (B)　　　　　 　　 (C)　　　　　　  　 (D)

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

(11)在(1－)¹⁵的展开式中，系数最大的项是第　　 9　　　 项．

(12)设{a_n}为等差数列，从{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有　　 24　　　个．

(13)已知命题p：不等式x－m＋x－1＞1的解集为R，命题q：f(x)＝log_(3＋m)x是(0，＋∞)上的增函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则实数m的取值范围是 (－3，－2)∪ [0，2]　 ．

(14)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是　　．

(15)如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于　 60^o　．

(16)有下列命题：

①G＝（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；

②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)＝0；

③若不等式x－4+x－3＜a的解集非空，则必有a≥1；

④函数y=sinx+sinx的值域是［－2，2］．

其中正确命题的序号是　①②③④　 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17) (本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．(I)求∠B的范围；(II)求y＝2sin²B＋sin(2B＋)的取值范围．

解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b²＝ac．

根据余弦定理，得cosB＝＝≥＝．

又因为0＜B＜，所以0＜B≤．

所以∠B的范围是(0，]．

(2)y＝2sin²B＋sin(2B＋)＝1－cos2B＋sin2Bcos＋cos2Bsin

＝1＋sin2Bcos－cos2Bsin＝1＋sin(2B－)．

因为0＜B≤，所以－＜2B－≤，所以－＜sin(2B－)≤1，所以＜y≤2．

所以y＝2sin²B＋sin(2B＋)的取值范围是(，2]．

(18)(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD的中点．

(I)求证：EF⊥面BCD；

(II)求多面体ABCDE的体积；

(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

解：(I)取BC中点G，连FG，AG．

因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．

又AGÌ面ABC，所以BD⊥AG．

又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．

又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．

又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD．

(II)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．

又BD∥AE，所以BD与AE共面．

又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．

所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．

故四棱锥C－ABDE的体积为V_C－ABDE＝S_ABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．

(III)过C作CK⊥DE于K，连接KH．

由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C－DE－B的平面角．

易知EC＝，DE＝，CD＝2．

由S_△DCE＝×2×＝×CK，可得CK＝．

在Rt△CHK中，sin∠HKC＝＝，所以cos∠HKC＝，

所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为．

(19)(本小题满分14分)某空调器厂为了规范其生产的空调器的市场营销，在一个地区指定一家总经销商，规定经总销商之间不得“串货”（即一个地区的总经销商不得向其他地区销售该品牌空调器）．经空调器厂和各地区总经销商联合市场调查，预计今年的七月份（销售旺季），市场将需求售价为1800元/台的P型空调器200万台，但该厂的生产能力只有150万台．为了获得足够的资金组织生产，该空调器厂规定，每年的销售旺季前预付货款的总经销商在旺季将获得供货优待．以东部地区为例，今年的7月份市场将需求P型空调器10万台，如果东部地区的总经销商在2月1日将10万台P型空调器的货款全部付清，空调器厂按1500元/台的价格收取货款，并在7月1日保证供货；每推迟一个月打入货款，每台空调器的价格将增加6元，并且供货量将减少2%．已知银行的月利率为0.5%．

(I)就P型空调器的进货单价而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？

(II)就东部地区经销P型空调器而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？

(III)东部地区的小王7月1日用分期付款的方式购买了1台P型空调器，如果采用每月“等额还款”的方式从7月1日开始分6次付清，小王每一次的付款额约是多少？

(以下数据仅供参考：1.005⁴＝1.020151，1.005⁵＝1.025251，1.005⁶＝1.030378，0.98⁵＝0.903921，0.98⁶＝0.885842，0.98⁷＝0.868126)

解　(I)2月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500元；7月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500＋5×6＝1530（元）．

由于1500×(1＋0.5%)⁵＝1500×1.025251≈1537.88＞1530，

所以，就P型空调器的进货单价而言，经销商在7月1日打入货款划算．

(II)2月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的利润是100000×(1800－1537.88)＝（元）；

7月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的台数是100000×(1－2%)⁵＝90392.1≈90392，

利润为90392×(1800－1530)＝（元）．

由于＜，所以，就东部地区经销P型空调器而言，在2月1日打入货款最划算．

(III)设小王每个月的还款数额为x元，

则(1＋1.005＋1.005²＋1.005³＋1.005⁴)x＝(1800－x)×1.005⁵，

即　x＝1800×1.005⁵，

解得x＝＝＝303.75(元)．

答：小王每一次的付款额约是303.75元．

(20)(本小题满分14分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．

(I)若∠AF₁F₂＝α，∠AF₂F₁＝β，试用α，β表示椭圆的离心率e；

(II)设→＝λ₁→，→＝λ₂→，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁＋λ₂为定值．

解：(I)设F₁(－c，0)，F₂(c，0)．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

＝＝，

即 　　　 AF₁＝，AF₂＝，

所以　　  2a＝AF₁＋AF₂＝＋

＝2c(＋)＝2c·，

得　　　　　　　　　　　　 e＝．

(II)设A(x₀，y₀)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)．

①当y₀＝0时，λ₁＋λ₂＝2＝；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁＋λ₂＝．

②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y＝(x－c)，

由消x得[b²(x₀－c)²＋a²y]y²＋2b²y₀(x₀－c)y＋c²b²y－a²b²y＝0．

由韦达定理得　y₂y₀＝，

所以　　　　  y₂＝，

所以　　　　  λ₂＝＝－＝－ ，

同理可得　　  λ₁＝＝－＝－，

故　　　　　  λ₁＋λ₂＝－[＋]

＝－＝＝＝，

综上可知　　　　  λ₁＋λ₂＝．

(21)(本小题满分16分)设函数f(x)＝x³＋x²＋x＋5(a，b∈R，a＞0)的定义域为R．当x＝x₁时取得极大值，当x＝x₂时取得极小值．

(I)若x₁＜2＜x₂＜4，求证：函数g(x)＝ax²＋bx＋1在区间(－∞，－1]上是单调减函数；

(II)若x₁＜2，x₁－x₂＝4，求实数b的取值范围．

解法一　f '(x)＝ax²＋(b－1)x＋1．

因为f(x)当x＝x₁时取得极大值，当x＝x₂时取得极小值．

所以f '(x)＝ax²＋(b－1)x＋1＝0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂．

(Ⅰ)由题知，f '(x)＝0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，

当且仅当

所以16a＋4b＞3＞3(4a＋2b)，得－＞－1．

因为函数g(x)＝ax²＋bx＋1在区间(－∞，－)上是单调减函数，

所以函数g(x)＝ax²＋bx＋1在区间(－∞，－1]上是单调减函数；

(Ⅱ)因为方程ax²＋(b－1)x＋1＝0的两个根x₁，x₂(x₁＜x₂)，且x₁·x₂＝＞0，所以x₁，x₂同号．

又x₁－x₂＝＝4，所以(b－1)²＝16a²＋4a．③

若－2＜x₁＜0，则－2＜x₁＜x₂＜0，则x₁－x₂＜2，与x₁－x₂＝4矛盾，

所以0＜x₁＜2，则所以4a＋1＜2(1－b)，

结合③得(4a＋1)²＜4(1－b)²＝4(16a²＋4a)，解得a＞或－a＜．结合a＞0，得a＞．

所以2(1－b)＞4a＋1＞，得b＜．

所以实数b的取值范围是(－∞，)．

解法二　f'(x)＝ax²＋(b－1)x＋1．

(Ⅰ)由题知，f'(x)＝0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，

当且仅当

由①得，－b＞2a－．

因为a＞0，所以－＞1－．③

由结合③，得－＞－1．

因为函数g(x)＝ax²＋bx＋1在区间(－∞，－)上是单调减函数，

所以函数g(x)＝ax²＋bx＋1在区间(－∞，－1)上是单调减函数；

(Ⅱ)因为x₁·x₂＝＞0，所以x₁，x₂同号．

由x₁＜2，得－2＜x₁＜2．

若－2＜x₁＜0，则－2＜x₁＜x₂＜0，则x₁－x₂＜2，与x₁－x₂＝4矛盾，

所以0＜x₁＜2，则x₂＞4．

所以得b＜．

又因为x₁－x₂＝＝4，所以(b－1)²＝16a²＋4a．

根据④⑤得得结合b＜，得b＜；

所以实数b的取值范围是(－∞，)．