苏州中学高三数学综合训练(7)
班级 姓名 得分
一、选择题:
1.在锐角中,若
,则
的取值范围为( )
A. B.(1,
)
C. D.(―1,1)
2.已知x,y为正实数,且x,a1, a2, y成等差数列,x, b1, b2, y成等比数列,那么
的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B. C.
D.[2,4]
3.已知函数f (x)(0≤x≤1)
的图象是一段圆弧(如图所示)若
,则 ( )
A. B.
C. D.前三个判断都不正确
4.已知等于 ( )
A.- B.-
C.
D.
5.已知a,b,c为三条不同的直线,且a平面
,b
平面β,α∩β=c
①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交. ②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直. ③若a//b,则必有a//c ④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β
以上的命题中,正确的是 ( )
A.②③④ B.①③ C.①④ D.②③
6.已知集合A={1,2,3,4,5,6},若a∈A,b∈A,则离心率互不相同的椭圆
的个数为 ( )
A.15 B.13 C.12 D.11
7.椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的两个焦点,其长轴长为2a,焦距为2c(a>c>0),静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是 ( )
A.2(a-c) B.2(a+c) C.4a D.以上答案均有可能
8.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),f(a)<1设则( )
A.n<s<m B.m<s<n C.s<m<n D.n<m<s
9.区间所得的象集区间为
,若区间
的长度比区间
的长度大5,则
=( )
A.5 B.10 C.2.5 D.1
10.已知,
,点
是圆
上的动点,点
是圆
上的动点,则
的最大值是( )
A. B.
C.
D.
二、填空题:
11.已知x2+xy+y2=3,则x2+y2的范围是 .
12.有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为2,现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为 .
13.将函数的反函数的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位之后,得到函数g(x)的图象,则g(1)+3·g(3)+5·g(5)+7·g(7)+9·g(9)的值等于
..
14.已知F1、F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线,它与双曲线的一个交点为P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为 .
|
15.如图所示,在排成4×4方阵的16个点中,
中间4个点在某个圆内,其余12个点在圆外.
在16个点中任选3个点构成三角形,其中恰
有两个顶点在圆内的三角形有 个;
至少有一个顶点在圆内的三角形有 个.
16.一只电子蚂蚁在如图2所示的网络线上由原点(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,nN),记可能的爬行方法总数为f(m,n), 下列有4逐步形成结论:
①f(2,1)=f(1,2)=3;
②f(2,2)=6;
③f(3,3)=21;
④f(n,n)=
其中所有正确结论的序号是
三、解答题:
17.一张形状为等边三角形的球桌,设其顶点为
.一个球从
边的中点击出,击中
边上的某点
,并且依次碰击
边于点
,最后击中
边于点
,设
,求
的取值范围.
(∠DEB=∠CEF,∠EFC=∠AFG)
18.已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数;②在f(x)的定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是[a,b].
(1)判断函数y=-x3是否属于集合M?并说明理由.若是,请找出区间[a,b].
(2)若函数y=+t∈M,求实数t的取值范围.
19.如右图,正三棱柱的所有棱长均为2,
是棱
上的一动点.
(1)当
在棱
上运动时,
是否有能与平面
垂直,说明理由;
(2)当时,求线段
的长;
(3)在(2)的条件下,求二面角的大小.
20.如图,
为椭圆
上的一个动点,弦
分别过焦点
.当
垂直于
轴 时,恰好
.
(I)求该椭圆的离心率;
(II)设,
,
试判断是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
21. 已知函数的定义域为[0,1],且同时满足:
(1) 对任意,总有
;
(2) ;
(3) 若,则有
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试求的最大值;
(Ⅲ)设数列的前
项和为
,满足
求证:
苏州中学数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | A | B | C | C | B | D | D | A | A | D |
二、填空题
11.[2,6] 12. 13.15
14. y=±x
15.60;312
16.①、②、④
三、解答题
17.解:由为等边三角形及入射角等于反射角易见
∽
∽
,2分
∴. 3分
不失一般性,设等边的边长为2,且
,
则有,且
. 8分
在中,由正弦定理得
. 10分
而, (文12分)
即. 12分
18.解:(1)y=-x3的定义域是R,
y'=-3x2≤0,∴y=-x3在R上是单调减函数.
则y=-x3在[a,b]上的值域是[-b3,-a3].
由 解得:或 (舍去)或 (舍去)
∴函数y=-x3属于集合M,且这个区间是[-,]
(2)设g(x)=+t,则易知g(x)是定义域[1,+∞上的增函数.
g(x)∈M,∴存在区间[a,b][1,+∞
,满足g(a)=a,g(b)=b.
即方程g(x)=x在[1,+∞内有两个不等实根.
[法一]:方程+t=x在[1,+∞内有两个不等实根,
等价于方程x-1=(x-t)2在[2t,+∞内有两个不等实根.
即方程x2-(4t+4)x+4t2+4=0在[2t,+∞内有两个不等实根.
根据一元二次方程根的分布有
解得0<t≤.
因此,实数t的取值范围是0<t≤.
[法二]:要使方程+t=x在[1,+∞内有两个不等实根,
即使方程=x-t在[1,+∞内有两个不等实根.
如图,当直线y=x-t经过点(1,0)时,t=,
当直线y=x-t与曲线y=相切时,
方程=x-t两边平方,得x2-(4t+4)x+4t2+4=0,由△=0,得t=0.
因此,利用数形结合得实数t的取值范围是0<t≤.
19. 解:(1)无论在
的任何位置
都不能与平面
垂直.
反证法:假设平面
,则
,必有
与
重合;
平面
,则必有
,即
与
矛盾. 3分
(2)连结交
于点
,则
,又
, 4分
∴平面
,且垂足为
.
∴.取
的中点
,连结
、
,则
面
而
为
在面
内的射影,由三垂线逆定理知
,而四边形
为正方形, 7分
∴易见为棱
的中点.
∴. 8分
(3)由(2)知,面
,过
作
于
,连
则
所求二面角的平面角, 9分
在中(如右图)
,
∴
在中,
,
. 11分(文12分)
∴所求二面角大小是. 12分
20. 解:(I)当C垂直于x轴时,
由
,得
,
在Rt△中,
解得 =
.
(II)由=
,则
,
.
焦点坐标为,则椭圆方程为
,
化简为.设
,
,
①若直线的斜率存在,则直线
方程为
代入椭圆方程有.
由韦达定理得:,∴
所以
,同理可得
故=
.
②若直线轴,
,
,
∴=6.
综上所述:是定值6.