2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数z＝i＋i²＋i³＋i⁴的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．－1　　　　　　　　　B．0　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　 D．i

2．函数f(x)＝的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．－∞，0]　　　 B．[0，＋∞　　　　C．（－∞，0）　　　 D．（－∞，＋∞）

3．已知数列{log₂(a_n－1)}（n∈N^*）为等差数列，且a₁＝3，a₂＝5，则

　　=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．2　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　 D．

4．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值

　 范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．[－2，－1]　　　B．[－2，1]　　　　　C．[－1，2]　　　　　 D．[1，2]

5．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面

A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面AB C₁D₁的距离为　（　）

A．　　　　　　　　　　B．　

C．　　　　　　　　　D．

6．设f₀(x)＝sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x)＝f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₅(x)＝（　）

　　A．sinx　　　　　　　　　 B．－sinx　　　　　　　　C．cosx　　　　　　　　　D．－cosx

7．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．30º　　　　　　　　　B．45º　　　　　　　　　 C．60º　　　　　　　　　D．90º

8．集合A＝｛x＜0＝，B＝｛x x -b＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，

　 则b的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．－2≤b＜0　　　　 B．0＜b≤2　　　　　　C．－3＜b＜－1　　 D．－1≤b＜2

9．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．48　　　　　　　　　 B．36　　　　　　　　　　C．24　　　　　　　　　 D．18

10．设P是△ABC内任意一点，S_△ABC表示△ABC的面积，λ₁＝， λ₂＝，

λ₃＝，定义f(P)=(λ₁, λ, λ₃),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），则　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．点Q在△GAB内　　　　　　　　　　　　　　　B．点Q在△GBC内　

　　　 C．点Q在△GCA内　　　　　　　　　　　　　　　D．点Q与点G重合

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了　　　　 件产品.

12．在（1＋x）＋（1＋x）²＋……＋（1＋x）⁶的展开式中，x ²项的系数是　　　　.（用数字作答）

13．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x²＋y²＝1相交于A、B两点，且AB＝，则　＝　　　　 .

14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f^－1(x)，f (4)＝0，则f^－1(4)＝　　　　.

15．设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N^*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为　　　 　.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

　　　 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

17．（本题满分12分）

　　　如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2.

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小.

	图1　　　　　　　　　 图2

18．（本小题满分14分）

　　　 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；

（Ⅱ）记“函数f(x)＝x²－3ξx＋1在区间[2，＋∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

19．（本小题满分14分）

　　　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线

l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ.

　 （Ⅰ）证明：λ＝1－e²；

　 （Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

20．（本小题满分14分）

　　　　自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

　 （Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；

　 （Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

　 （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的

　　　　 最大允许值是多少？证明你的结论.

21．（本小题满分14分）

　　已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx，a≠0.

　 （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

　 （Ⅱ）设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）参考答案

一、选择题：1—5：BACCB　 6—10： CDDBA

二、填空题：

11．5600　 12．35　13．　 14．－2　 15．，　

三、解答题：

16．解法一　由

　　　 得

　　　 所以

　　　 即

　　　 因为所以，从而

　　　 由知 从而.

　　　 由

　　　 即

　　　 由此得所以

解法二：由

　　　 由、，所以

　　　 即

　　　 由得

　　　 所以

　　　 即　　　　　　 因为，所以

　　　 由从而，知B+2C=不合要求.

　　　 再由，得　所以

17．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），

　　　 B（0，3，0），C（0，1，）

图3

　　　 O₁（0，0，）.

　　　 从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

（II）解：因为所以BO₁⊥OC，

由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O₁AC的一个法向量，

由　　得.

设二面角O—AC—O₁的大小为，由、的方向可知，>，

　　　 所以cos，>=

　　　 即二面角O—AC—O₁的大小是

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

　 　所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

图4

　　　 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO₁，

　　　 OC是AC在面OBCO₁内的射影.

　　　 因为　　，

　　　 所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

　　　 由三垂线定理得AC⊥BO₁.

（II）解 由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

　　　 设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F（如图4），则EF是O₁F在平面AOC

　　　 内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

　　　 所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

　　　 由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

　　　 所以，

　　　 从而，　　 又O₁E=OO₁·sin30°=，

　　　 所以　即二面角O—AC—O₁的大小是

18．解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

　　　 为事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，

　　　 P（A₃）=0.6.

　　　 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取

　　　 值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.

　　　 P（=3）=P（A₁·A₂·A₃）+ P（）

= P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（）

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1　　 3　 P 0.76 0.24

　　　 P（=1）=1－0.24=0.76.

　　　 所以的分布列为

　　　 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一　因为

所以函数上单调递增，

要使上单调递增，当且仅当

从而

解法二：的可能取值为1，3.

当=1时，函数上单调递增，

当=3时，函数上不单调递增.0

所以

19．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

　  所以点M的坐标是（）.　　由

即

　  证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以　　  因为点M在椭圆上，所以　

即

　 解得

　 （Ⅱ）解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有PF₁=F₁F₂，即

　  设点F₁到l的距离为d，由

　  得　 所以

　  即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有PF₁=F₁F₂，

设点P的坐标是，

则

由PF₁=F₁F₂得

两边同时除以4a²，化简得　从而

于是.　　即当时，△PF₁F₂为等腰三角形.

20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

　 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由（*）式得

　　　　

　　　　因为x₁>0，所以a>b.

　　　　猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

　 （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*

　　　　 由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

　　　　 0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

　　　　而x₁∈(0, 2)，所以

　　　　由此猜测b的最大允许值是1.

　　　　下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

　　　　①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

21．解：（I），

则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

　则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

　综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.

　 （II）证法一　设点P、Q的坐标分别是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.

　　　　 则点M、N的横坐标为

　　　　 C₁在点M处的切线斜率为

　　　　 C₂在点N处的切线斜率为

　　　　 假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

　　　　 即，则

　　　　　　　　 =

　　　 所以　设则①

　　　 令则

　　　 因为时，，所以在）上单调递增. 故

　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

　　　 因为，所以

　　　 令，得　②

　　　 令

　　　 因为，所以时，

　　　 故在[1，+上单调递增.从而，即

　　　 于是在[1，+上单调递增.

　　　 故即这与②矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.