2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（ _UA）∩B=

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．{0}　　　　　　　　　 B．{－2，－1}　　　C．{1，2}　　　　　　D．{0，1，2}

2．tan600°的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　　　　　 B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D．

3．函数f(x)＝的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－∞，0]　　　 B．[0，＋∞　　　　C．（－∞，0）　　　 D．（－∞，＋∞）

4．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁

的中点，则E到平面AB C₁D₁的距离为（ 　 ）

A．　　　　　　　　　B．　

C．　　　　　　　　　　D．

5．已知数列满足，则=　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．

6．设集合A＝｛x＜0，B＝｛x x －1＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的（　　）

　　　A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件　

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分又不必要条件

7．设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．20　　　　　　　　　　 B．19　　　　　　　　　　　 C．18　　　　　　　　　　　D．16

8．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．30º　　　　　　　　　B．45º　　　　　　　　　 C．60º　　　　　　　　　D．90º

9．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　　）

　　A．外心　　　　　　　　 B．内心　　　　　　　　　C．重心　　　　　　　　 D．垂心

10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L₁=5.06x－0.15 x ²和L₂=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最

大利润为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．45.606　　　　　　　　B．45.6　　　　　　　　　　C．45.56　　　　　　　　　D．45.51

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是　　　　  .

12．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了　　　　 件产品.

13．在（1＋x）＋（1＋x）²＋…＋（1＋x）⁶的展开式中，x ²项的系数是　　　　.（用数字作答）

14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f^－1(x)，f (4)＝0，则f^－1(4)＝　　　　.

15．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.

　 （i）当满足条件　　　　　 时，有；（ii）当满足条件　　　　　 时，有.

　　　 （填所选条件的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

　　　 已知数列为等差数列，且

　 （Ⅰ）求数列的通项公式；

　 （Ⅱ）证明

17．（本小题满分12分）

　　　 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

18．（本小题满分14分）

　　　

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2.

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小.

	图1　　　　　　　　　 图2

19．（本小题满分14分）

　　　 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

20．（本小题满分14分）

　　　 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

　 （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

　 （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.

21．（本小题满分14分）

　　　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线

l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ.

　 （Ⅰ）证明：λ＝1－e²；

　 （Ⅱ）若，△PF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程；

　 （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：1—5：CDABB　 6—10： ACDDB

二、填空题：

11．　12．5600　 13．35　 14．－2　 15．③⑤　②⑤

三、解答题：

16．（I）解：设等差数列的公差为d.

　　由即d=1.

所以即

（II）证明因为，

所以

　

17．解法一　由

　　　 得

　　　 所以

　　　 即

　　　 因为所以，从而

　　　 由知 从而.

　　　 由

　　　 即

　　　 由此得所以

解法二：由

　　　 由、，所以

　　　 即

　　　 由得

　　　 所以

　　　 即 　　　　　　因为，所以

　　　 由从而，知B+2C=不合要求.

　　　 再由，得　所以

18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），

　　　 B（0，3，0），C（0，1，）

图3

　　　 O₁（0，0，）.

　　　 从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

（II）解：因为所以BO₁⊥OC，

由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O₁AC的一个法向量，

由　　得.

设二面角O—AC—O₁的大小为，由、的方向可知，>，

F 　 E

　　　 所以cos，>=

　　　 即二面角O—AC—O₁的大小是

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

　 　所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

图4

　　　 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO₁，

　　　 OC是AC在面OBCO₁内的射影.

　　　 因为　　，

　　　 所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

　　　 由三垂线定理得AC⊥BO₁.

（II）解 由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

　　　 设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F（如图4），则EF是O₁F在平面AOC

　　　 内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

　　　 所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

　　　 由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

　　　 所以，

　　　 从而，　　 又O₁E=OO₁·sin30°=，

　　　 所以　即二面角O—AC—O₁的大小是

19．解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，

　 　即.因为所以.

　　　

　　　 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将代入上式得　因此故，，

（II）解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以

又当时，函数在（－1，3）上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）

上的抛物线，

　　　 所以　即解得

　　　 所以的取值范围为

20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3⁴.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.

（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A₁，那么事件A₁的概率为

P（A₁）=

（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A₂和A₃，则事件A₃的概率为P（A₃）=，事件A₂的概率为

P（A₂）=1－P（A₁）－P（A₃）=

解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A₂）=

21．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

　  所以点M的坐标是（）.　　由

即

　  证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以　　  因为点M在椭圆上，所以　

即

　 解得

　 （Ⅱ）当时，，所以　 由△MF₁F_­2­­的周长为6，得

　　　　 所以　椭圆方程为

　 （Ⅲ）解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有PF₁=F₁F₂，即

　  设点F₁到l的距离为d，由

　  得　 所以

　  即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有PF₁=F₁F₂，

设点P的坐标是，

则

由PF₁=F₁F₂得

两边同时除以4a²，化简得　从而

于是.　　即当时，△PF₁F₂为等腰三角形.