杭州西湖高级中学高三3月月考数学试卷（理科卷）

一、选择题（每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题5分，共50分）

1．已知函数的图像经过点，则常数的值为　　（　　）

　　　 A．2　　　　  　　　 B．4　　　　　　　　 C． 　　　　　　　 D．

2．函数的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　　　　　　　B． 　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

3．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．（－1，－2）　　　 B．（1，－2）　　　　 C．（－1，2）　　　　　D．（1，2）

4．为等差数列的前n项和，S₉＝－36，S₁₃＝－104，等比数列中， ，，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　　　　　B．－ 　　　　　 C．± 　　　　　　D．无法确定

5．是的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．不充分不必要条件

6．函数的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与的图象重合，则是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A． 　　　　　　B．　　 C． D．

7．以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　 

　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

8．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好

点”。在下面五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“好

点”的个数为（　　）　 A．0个　　　　　 B．1个　　C．2个　　　　　　　　 D．3个

9．已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，　，则该双曲线的方程是　　　　　　　　　　 　　　 （　　）

　　　 A．　　　B．　　C． 　　D．

10．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为　　　　 （　　　 ）

A．　　　B． 　　C．　　　　D． 　 

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）

11．若圆锥曲线的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．

12．的展开式中第9项是常数项，n的值是　　　　　　　　　

13．若点A（1，2）和B（1，1）在直线3x-y+m=0的异侧，则m的取值范围是______________

14．椭圆+=1(a>b>0)上两点A，B与中心O的连线互相垂直，则=　　　

三．解答题：（每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知向量=（sinB，1－cosB)，且与向量（2，0）所成角为，其中A, B, C是⊿ABC的内角．

　 （1）求角Ｂ的大小；　

（2）求sinA+sinC的取值范围．

16.有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜. ⑴分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；⑵投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

17．已知抛物线上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且，在抛物线的AOB一段上求一点P，使最大，并求面积最大值。

18．已知函数f(x)=(x²+)(x+a)(aR)

(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的范围；

(2)若(-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；（II）证明对任意的x₁、x₂(-1,0),不等式f(x₁)-f(x₂)<恒成立。

19．双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线l与x轴交于点A，且 OF = 3 OA 。过点F的直线与双曲线交于P、Q两点。

（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；（Ⅱ）若=0，求直线PQ的方程。

20．设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.

（1）　　　 求证：M点的纵坐标为定值；　

（2）　　　 若S_n=f(∈N^*，且n≥2,求S_n;

（3）　　　 已知a_n=，其中n∈N^*.

　T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ(S_n+1+1)对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围.

参考答案（理科卷）

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	D	B	D	C	A	D	A	C	C	B

二、填空题

11． 12．　 12　　　 13．（-2，-1）　14.

三．解答题

15. 解：（1）∵=（sinB，1-cosB) , 且与向量（2，0）所成角为

∴∴tan

（2）由（1）得

∵　∴∴

当且仅当

16．（理科） 解：⑴红色骰子投掷所得点数为是随即变量，其分布如下：

　　　　  　　　　　　　　　　　　8　　　　　　　　　　　　　2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　  P　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 E＝8·＋2·＝4　　　　 

  蓝色骰子投掷所得点数是随即变量，其分布如下：

　　　　　　 　　　　　　　　　　7　　　　　　　　　 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

P　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

  E=7·+1·=4　　　　　　　　　　

 ⑵∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子这若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，

红色骰子点数为2，∴投掷蓝色骰子获胜概率是=·＝

17． 解：P ，最大=

18．解：，

⑴ 函数的图象有与轴平行的切线，有实数解

　 ，，

所以的取值范围是

⑵，，，

（Ⅰ）由或；由

的单调递增区间是；单调减区间为

（Ⅱ）易知的最大值为，的极小值为，又

在上的最大值，最小值

对任意，恒有

19．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为= 1（a＞0b＞0）

由已知 解得a = ，c = 3

所以双曲线的方程这= 1离心率e =……………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），

　　　当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x = 3 .此时,≠0,应舍去.

　　　当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y = ( x – 3 ).

　　　由方程组 得

　　　由一过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点， 则－２≠０，即k≠，

　　　由于△＝36-4(-2)(9+6) =48(+1)＞0即k∈R.

　　　∴k∈R且k≠（*）　

　　　设Ｐ（，），Ｑ（，），则

　　　

　　　 由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）

　　　于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9]　（3）

　　　∵ = 0，　　∴（-1，）·（-1，）= 0

　　　即-（+）+ 1 + = 0　　 （4）

　　　由（1）、（2）、（3）、（4）得

　　　= 0

　　　整理得=　　∴k = 满足（*）

　　　∴直线PQ的方程为x － -3 = 0或x +-3 = 0

20．（1）证明：∵ ∴M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,

　　　　由（x₁+x₂）=x=,得x₁+x₂=1，则x₁=1-x₂或x₂=1-x₁.

　　　　而y=(y₁+y₂)= ［f(x₁)+f(x₂)］ =(+log₂

=(1+log₂　=(1+log₂

 =(1+log₂

 ∴M点的纵坐标为定值.

　（2）由（1）知x₁+x₂=1,f(x₁)+f(x₂)=y₁+y₂=1,

　　　 S_n=f(

　S_n=f(,

　两式相加得：

2S_n=［f()+［f()+…+［f()

　=

 ∴S_n=(n≥2,n∈N^*).

(2)当n≥2时,a_n=

　 T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=［()

　  =(

　由T_n＜λ(S_n+1+1)得＜λ·

　∴λ＞

　∵n+≥4,当且仅当n=2时等号成立,

∴

因此λ＞，即λ的取值范围是（+∞）