2005年高考数学江苏卷试题及答案
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一选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的
1.设集合,,,则=( )
A. B. C. D.
2.函数的反函数的解析表达式为 ( )
A. B. C. D.
3.在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
4.在正三棱柱中,若AB=2,则点A到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.中,,BC=3,则的周长为 ( )
A. B.
C. D.
6.抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D.0
7.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( )
A. B. C. D.
8.设为两两不重合的平面,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,,,则;
③若,,则;④若,,,,则其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.设,则的展开式中的系数不可能是 ( )
A.10 B.40 C.50 D.80
10.若,则= ( )
A. B. C. D.
11.点在椭圆的左准线上,过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )
A.96 B.48 C.24 D.0
二.填写题:本大题共6小题,每小题4分,共24分把答案填在答题卡相应位置
13.命题“若,则”的否命题为__________
14.曲线在点处的切线方程是__________
15.函数的定义域为__________
16.若,,则=__________
17.已知为常数,若,,则=__________
18.在中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则的最小值是__________
三.解答题:本大题共5小题,共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
19.(本小题满分12分)如图,圆与圆的半径都是1,,过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN(M.N分别为切点),使得试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程
20.(本小题满分12分,每小问满分4分)甲.乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响
⑴求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
⑵求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
⑶假设某人连续2次未击中目标,则停止射击问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
21.(本小题满分14分,第一小问满分6分,第二.第三小问满分各4分)
如图,在五棱锥S—ABCDE中,SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,,
⑴求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示);
⑵证明:BC⊥平面SAB;
⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小(本小问不必写出解答过程)
22.(本小题满分14分,第一小问满分4分,第二小问满分10分)已知,函数
⑴当时,求使成立的的集合;
⑵求函数在区间上的最小值
23.(本小题满分14分,第一小问满分2分,第二.第三小问满分各6分)
设数列的前项和为,已知,且
,其中A.B为常数
⑴求A与B的值;
⑵证明:数列为等差数列;
⑶证明:不等式对任何正整数都成立
2005年高考数学江苏卷试题及答案
参考答案
(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B
(13)若,则 (14)
(15) (16)-1 (17)2 (18)-2
(19)以的中点O为原点,所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则(-2,0),(2,0),
由已知,得
因为两圆的半径均为1,所以
设,则,
即,
所以所求轨迹方程为(或)
(20)(Ⅰ)记“甲连续射击4次,至少1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击4次,相当于4次独立重复试验,故P(A1)=1- P()=1-=
答:甲射击4次,至少1次未击中目标的概率为;
(Ⅱ) 记“甲射击4次,恰好击中目标2次”为事件A2,“乙射击4次,恰好击中目标3次”为事件B2,则
,,
由于甲、乙设计相互独立,故
答:两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为;
(Ⅲ)记“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击为击中” 为事件Di,(i=1,2,3,4,5),则A3=D5D4,且P(Di)=,由于各事件相互独立,
故P(A3)= P(D5)P(D4)P()=×××(1-×)=,
答:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是
(21)(Ⅰ)连结BE,延长BC、ED交于点F,则∠DCF=∠CDF=600,
∴△CDF为正三角形,∴CF=DF
又BC=DE,∴BF=EF因此,△BFE为正三角形,
∴∠FBE=∠FCD=600,∴BE//CD
所以∠SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角
∵SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,
∴SB=,同理SE=,
又∠BAE=1200,所以BE=,从而,cos∠SBE=,
∴∠SBE=arccos
所以异面直线CD与SB所成的角是arccos
(Ⅱ) 由题意,△ABE为等腰三角形,∠BAE=1200,
∴∠ABE=300,又∠FBE =600,
∴∠ABC=900,∴BC⊥BA
∵SA⊥底面ABCDE,BC底面ABCDE,
∴SA⊥BC,又SABA=A,
∴BC⊥平面SAB
(Ⅲ)二面角B-SC-D的大小
(22)(Ⅰ)由题意,
当时,由,解得或;
当时,由,解得
综上,所求解集为
(Ⅱ)设此最小值为
①当时,在区间[1,2]上,,
因为,,
则是区间[1,2]上的增函数,所以
②当时,在区间[1,2]上,,由知
③当时,在区间[1,2]上,
若,在区间(1,2)上,,则是区间[1,2]上的增函数,
所以
若,则
当时,,则是区间[1,]上的增函数,
当时,,则是区间[,2]上的减函数,
因此当时,或
当时,,故,
当时,,故
总上所述,所求函数的最小值
(23)(Ⅰ)由已知,得,,
由,知
,即
解得.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得 ①
所以 ②
②-①得 ③
所以 ④
④-③得
因为
所以
因为
所以
所以 ,
又
所以数列为等差数列
(Ⅲ)由(Ⅱ) 可知,,
要证
只要证 ,
因为 ,
,
故只要证 ,
即只要证 ,
因为
所以命题得证