数学测试

2006.9

一．选择题

1．函数的最小正周期是（　　）

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　D．

2．若条件P：，条件Q：，则¬P是¬Q的（　　）条件.

　　　 A．充分不必要　　　　　　B．必要不充分　　　　　　C．充要　　　　D．既不充分也不必要

3．函数的图象大致是（　　）

4．设，则＝（　　）

　　　 A．1　　　　　　　B．0　　　　　　　C．　　　　　D．

5．（理）（　　）

A．0　　　　　　　B．－1　　　　　C．1　　　　　　　D．

（文）如果成等比数列，那么

　　　 A．　　B．　 C．　 　 D．

6．设是的反函数，若，则的最小值是（　　）

　　　 A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．　　　　　　　D．4

7．设M＝｛1,2,3,4｝，N＝｛0,1,2｝,建立的函数，则以N为值域的映射有（　）

　　　 A．18个　　　　B．36个　　　　C．48个　　　　D．81个

8．下列条件中，能确定三点A，B，P不共线的是（　　）

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

9．（理）（）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　

C．　　　　　　 D．

（文）曲线与在交点处的切线的夹角是（　　）

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

10．己知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为，且，则的最大值为（　　）

　　　 A．　　　　　　B．　　　　　　C．2　　　　　　　D．

11．设实数满足，若对满足条件的，不等式恒成立，则c的取值范围是（　　）

　　　 A．　　　　 B．　　　　　C．　　　　 D．

12．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且P点到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（　　）

　　　 A．圆　　　　　　　　　 B．抛物线　　

　　　 C．双曲线　　　　　　D．直线

二．填空题

13．己知点P，Q，直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是　　　　

14．己知数列的前n项和为，且向量与共线，则数列的前n项和＝　　　　 

15．关于x的方程有实根，则实数m的取值范围是　　　　

16．把49个数排成如图所示的数表，若表中每行7个数自左至右依次成等差数列，每列自上而下依次也成等差数列，且正中间的数＝1，则表中所有数的和为　　　　

三．解答题

17．己知，，，其中，

（1）若 ，求的值

　　　 （2）若，求的值

18．（文）有一批食品出厂前要进行五项指标抽检，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出厂，己知每项抽检是相互独立的，且每项抽检不合格的概率都是，

（1）求这批食品不能出厂的概率；（保留三位有效数字）

（2）求直到五项指标全部检验完毕，才能确定该食品是否可以出厂的概率。

（理）袋中有红球3个，蓝球2个，黄球1个，任取一球确认颜色后放回袋中，最多可以取3次，但是若取到红球就不能再取了，

（1）求取出一次或二次的概率；

（2）假定每取一次可以得100元，求所得金额的期望；

（3）求恰好两次取到蓝球的概率。

19．己知ABCD为矩形，PD平面ABCD，PD＝DC＝，AD＝2，E为PB上一点，且PC平面ADE，

（1）求PC与平面PBD所成角的大小；

（2）求的值

（3）求四棱锥P-ABCD夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积。

20．双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为,相应于焦点F的准线与x轴交于点A，且，过点F的直线与双曲线交于P，Q两点，

（1）求双曲线方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程。

21．（理）己知函数，（为常数），直线与函数及的图象都相切，且与的切点的横坐标为1，

（1）求直线的方程及a的值；

（2）当时，讨论方程的解的个数。

（文）己知函数在区间（－2,1）内，当时，取得极小值，时，取得极大值，

求（1）函数在时的对应点的切线方程；

  （2）函数在上的最大值与最小值。

22．设函数上两点P₁，P₂，若，且P点的横坐标为，

（1）求证：P点的纵坐标为定值1；

（2）求

（3）记为数列的前n项和，若对一切都成立，求实数a的取值范围。

答案

一．选择

1	2	3	4	5
C	A	B	D	D
6	7	8	9	10
D	B	C	A	D
11	12
A	B

二．填空题

13．　　　　 14．　　　　　　15．［－3，0）　 16．49

三．解答题

17．（文／理）①

②由，得

18．（理）①P₁＝

	100	200	300
P

②

元

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

③ P＝

（文）解：（1）

（2）五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是

　　 五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是

　　

19．解：（1）在平面ABCD内作CGBD于G，连结PG，PD平面ABCD，CG平面ABCD，

PDCG，CG平面PBD　　　CPG就是PC与面PBD所成的角。

在BCD中，CG＝＝，又PC＝，故在PGC中，CPG＝

又CPG为锐角，CPG＝　　 PC与平面PBD所成的角为

（2）设平面ADE与PC交于F，连DF，EF，PC平面ADE，DF平面ADE，PCDF

又PD＝DC，F为PC中点　　BC//AD，BC平面ADE　　BC//平面ADE

又平面ADE平面PBD＝EF　　BC//EF　  E为PB中点，故

（3）因为PD平面ABCD，所以PDAD，又ADDC，　所以AD平面PDC，又DF平面PDC，所以ADDF，又PF平面ADEF，EF=BC＝1，DF＝DC＝

所以，又

所以，即四棱锥夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积为5

20．解：（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为= 1（a＞0b＞0）

由已知 解得a = ，c = 3

所以双曲线的方程这= 1离心率e =……………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），

　　　当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x = 3 .此时,≠0,应舍去.

　　　当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y = ( x – 3 ).

　　　由方程组 得

　　　

　　　由一过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点，

　　　则－２≠０，即k≠，

　　　由于△＝36-4(-2)(9+6)

　　　　　　=48(+1)＞即k∈R.

　　　∴k∈R且k≠（*）　……………………………………………………８分

　　　设Ｐ（，），Ｑ（，），则

　　　

　　　 由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）

　　　于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9]　（3）

　　　∵ = 0，

　　　∴（-1，）·（-1，）= 0

　　　即-（+）+ 1 + = 0　　 （4）

　　　由（1）、（2）、（3）、（4）得

　　　= 0

　　　整理得=　　　　∴k = 满足（*）

　　　∴直线PQ的方程为x = -3 = 0或x +-3 = 0……………………14分

21．（理）解：（1）：y=x-1，a＝－

（2）　 设

，令，得

x		－1		0		1
	＋	0	－	0	＋	0	－
		极大值		极小值		极大值

所以1）当时有两个解

2）当时有3个解

3）当时有4个解

4）时有两个解

5）当时无解

（文）解：（1）　又，分别对应函数取极小值和极大值，则－1，是方程的两根

所以　　 此时

当时，，此时　所以所求切线方程是：

即：

（2）　　

22．（文理）解（1）设P点的纵坐标为

因为所以P是P₁P₂的中点，即，得

因为　所以

（2）由（1）可知，当时，

又

所以2

又　所以2

(3)　　

则　

所以

因为　所以可变形为

要使上不等式成立，只需要大于的最大值即可，令，易知　　所以　　所以