2006年江苏省对口单独招生数学试卷
试卷Ⅰ(共48分)
一. 选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,每小题列出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.已知集,,则 ( )
A. B.
C. D.
2.若函数与互为反函数,则的值分别为( )
A.4,-2 B. 2,-2 C. -8, D. ,-8
3.已知向量与,若与垂直,则实数等于( )
A.-1 B. -10 C. 2 D. 0
4.如果事件与互斥,那么 ( )
A. 与是对立事件 B. 是必然事件
C. 是必然事件 D. 互不相容
5.若数列的通项为 ,则其前10项的和等于 ( )
A. B. C. D.
6.已知 ,且 ,则为( )
A.2 B. -2 C. D.
7.已知,() ,若 ,则与
在同一坐标系内的图象可能是 ( )
8.过点,且在两坐标上的截距之和为0的直线有几条? ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
9.三个数的大小关系是( )
A. B.
C. D.
10.的 ( )
A.充要条件 B. 必要而非充分条件
充分而非必要条件 D. 以上均不对
11.直线与圆相切,则的值为 ( )
A.1或-19 B. -1或19 C. 1 D.
12.已知函数在上是偶函数,且在上又是减函数,那么与的大小关系是( )
A. B.
C. D.
试卷Ⅱ(102分)
二 填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中的横线上)
13.已知复数,,则 .
14. 设等比数列满足 ,则公比 .
15. 若函数的图象经过点,则函数的图象必经过点 .
16. 方程在区间内的解的个数为 .
17. 由数字0,1,2,3组成的没有重复数字的四位偶数共有 .
18. 椭圆的离心率是方程的根,则 .
三.解答题(本大题共7题,共78分)
19. (本题满分8分)解不等式:
20. (本题满分8分)已知中,满足.试判断是什么形状?
21.(本题满分14分)某公司年初花费72万元购进一台设备, 并立即投入使用. 计划第一年维护费用为8万元,从第二年开始,每一年所需维护费用比上一年增加4万元。现已知设备使用后,每年创造的收入为46万元,如果设备使用年后的累计盈利额为万元。求:
(1)写出与之间的函数关系式;(累计盈利额=累计收入-累计维护费-设备购置费)
(2)从第几年开始,该设备开始盈利(即累计盈利额为正值)?
(3)使用若干年后,对该设备的处理方案有两种:当年平均盈利额达到最大值时,以42万元价格处理该设备;当累计盈利额达到最大值时,以10万元的价格处理该设备,问哪种处理方法较为合算?请说明你的理由.
22.(本题满分14分)在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,
(1)在放回抽样的情况下,求抽到次品数的分布列和;
(2)在不放回抽样的情况下,求抽到次品数的分布列,并.
23 (本题满分14分)在四面体中,,为正三角形,的中点,设。
(1)如何在上找一点,使?请说明理由;
(2)求点到面的距离;
(3)对于(1)中的点,求二面角的大小.
24 (本题满分14分)已知动点到定直线与定点的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)记定直线与轴的交点为,(1)中的轨迹方程上两点满足条件:
成等差数列,求弦中点的横坐标;
(3)设(2)中弦的垂直平分线方程为,求的取值范围.
25 (本题满分6分)试构造:
(1)一个周期为且是偶函数的三角函数;
(2)一个在上单调增且为奇函数的三角函数.
答案
一.选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | C | A | C | D | A | B | B | B | C | D | D |
二.填空题
13. 14. 15. (-4,-2) 16. 17. 10 18. 72
三.解答题
19.解:由 = 3分
得 即 3分
综合得 2分
20. ,
. 3分
设 ,
由余弦定理,得 , 3分
为钝角,即是钝角三角形. 2分
21.⑴ ,所以的分布列为: 4分
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0.512 | 0.384 | 0.096 | 0.008 |
=1-=0.488 3分
⑵
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
4分
3分
22.⑴使用年后,累计总收入为 46(万元)
使用年后,累计维护费为(万元)
由题意得 4分
⑵盈利额为正,即,解得
所以 从第三年年初开始盈利 4分
⑶第一种处理方案:年平均盈利为
当且仅当,即时,等号成立.
当时, 达到最大值为16万元.获利16*6+42=138万元
第二种处理方案:累计盈利额为万元
当时, 达到最大值128万元.获利128+10=138万元
两方案获利相同,但方案一的花费时间较长,所以按第一方案处理合算. 6分
23.⑴取的中点记为,即可.
由于分别为,的中点.
. 4分
⑵ 连接,
又
5分
⑶,连接
又, 为矩形
又已知
. 5分
24.⑴由题意得
即 轨迹方程表示为抛物线 4分
⑵由题⑴知点为抛物线的焦点,直线为抛物线的准线,则点坐标为.设,则由抛物线的性质得:
,,
由等差数列性质得 即
解得中点坐标为 4分
⑶由题意得
当时,由 得 则
的垂直平分线为,即轴 , 所以
当时, 的斜率为
即
又点在直线上
由于弦中点在抛物线内
6分
25.⑴(略) 3分
⑵(略) 3分