2006届高三年级第二次调研试题
理 科 数 学 试 卷
考试时间：2006年3月8日下午14:30—16:30
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把答案填入答题卡中）
1．已知
，
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知相交直线
都在平面
内，并且都不在平面
内，若
中至少有一条与相交；
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分也不必要条件
3．已知
，
，则实数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
4．当
时,
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N分别为AA1和BB1的中点，则异面直线CM与D1N所成角的余弦值为
6．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是
（A）
（B）
（C）
（D）5
7．已知函数
,则下列结论中正确的是
（A）它的定义域是
（B）它是奇函数
（C）它的值域是
（D）它不是周期函数
8．参数方程
(
为参数)表示曲线是
9．已知双曲线
上一点M到右准线的距离为10，
为右焦点，
的中点，
为坐标原点，则
的长为
（A）2 （B）2或7 （C）7或12 （D）2或12
10．已知数列
满足
（A）0
（B）1
（C）
（D）
11．已知向量
满足：对任意
，恒有
则向量
的夹角为
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知数列的通项
则下列表述正确的是
（A）最大项为
最小项为
（B）最大项为最小项不存在
（C）最大项不存在，最小项为
（D）最大项为最小项为
二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）tx
13．设
14．设
的反函数，则使
成立的
的取值范围是
15．设
满足约束条件
，则
的取值范围是___________.
16．给出下面四个命题：① 若
为非零向量，则
； ② 若为一平面内两个非零向量，则
的充要条件； ③ 
为
所在平面内一点，且满足
，则
； ④ 在空间四边形
中，
分别是
的中点，则
。其中正确命题序号为__________.
三、解答题(共6小题，共76分)
17．（12分）已知向量
(
) 和
=(
)，
．
(1) 求
的最大值；(2)当
=
时，求
的值
18．（12分）口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中同时取出2个球，若是同色的概率为
，求：
(1) 袋中红色、白色球各是多少？
(2) 从袋中任取３个小球，求其中红球个数的分布列与数学期望？
19．（12分）已知函数
(
) ,
(Ⅰ)试确定
的单调区间 ,
并证明你的结论 ;
(Ⅱ)若
时 , 不等式
恒成立 , 求实数
的取值范围.
20．（12分）已知在四边形中，
//
，
，
，
，将△
沿对角线
折起到如图所示
的位置，使平面
平面
。
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点到平面
的距离。
21．（本小题满分12分）如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为
，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.
（1）求△AMN的外心C的轨迹E；
|
|
|
a
b
O M N x
c
22．（14分）直线
与轴、
轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为
，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为
，（整点就是横纵坐标都为整数的点）
（1）求
和
的值；
（2）求及的表达式；
（3）对个整点用红、黄、蓝、白四色涂色，其方法总数为
，对个整点用红、黄两色涂色，其方法总数为
，试比较与的大小．
2006届高三年级第二次调研试题
数学理科参考答案
一.选择题.
DCBDC DCDDA CA
二.填空题
13. 
14. 
15.
16 . ②③④
三.解答题
17.解：(1) 
(2分)
=
=
=
(4分)
∵， ∴
，
。
(6分)
(2) 由已知
,得
(8分)
又
∴
(10分)
∵ ∴
， ∴
．
(12分)
18. （1）令红色球为个，则依题意得
,
（3分）
所以
得
或
，又红色球多于白色球，所以．所以红色球为
个，白色球为
个． （ 6分）
（2）设取出红球个数为
,则
;
;
, 
(10分)
则的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
(12分)
19. 解: (1) 当时 , 
, （2分）
令
可得 ; 令
可得
.（4分）
∴函数 ()在区间
上是增函数;
在区间
上是减函数 .
（6分）
(2) 由(Ⅰ)得,函数函数 ()在区间上是增函数 ,
∴当时, 
.
（8分）
∵不等式
恒成立 , ∴
, 解之得 
（12分）
20. 解法一
(1) 
, 
（2分）
又
.
（4分）
(2) 过
作
,
过
,连结
,由三垂线定理可证
,在
,
二面角的大小为
. （8分）
(3) 设到平面的距离为
,由
,
,
,则可得:
, 即到平面的距离为
（12分）
解法二
,
.如图所示建立空间直角坐标系
,
设
,则
.
(1)
,
,
（4分）
(2) 取平面
的法向量
,设平面
的法向量为
即
令
二面角的大小为
.
（8分）
(3) 由(2)知
,
到平面的距离为
（12分）
21、解：（1）设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0），N(x+p,0)，
由题意，有｜CA｜=｜CM｜ （2分）
∴
,化简，得
x2=2py
它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线. （4分）
（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.
由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点.
∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜ （6分）
由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点
直线BF的方程为
联立方程组
得
.
（10分）
即C点坐标为(
).
此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=
.
（12分）
22. 解：（1）
时，直线
上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）个点，直线
上有（1，0）（1，1）（1，2），直线
上有（2，0）（2，1），直线
上有（3，0）
所以
……………………………4（分）
（2）
时，
；
时，
当
时，
。 当
时也满足。
所以
……………9（分）
（3）对于个整点中的每一个点都有4种着色方法，故
对于个整点中的每一个点都有2种着色方法，故
……11（分）
当n=1．2．3．4．5．6．7．8时
当n≥9且n∈N*时，
…………………………………14（分）