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数 学（理） 试 卷

YCY

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　 球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）　　　　　　其中R表示球的半径

如果事件A、B相互独立，那么　　　　 球的体积公式

P（A·B）=P（A）·P（B）　　　　　　　　　　 其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．已知集合，那么等于（　　）

　　　 A．（0，1）　　　　　　　B．（0，1），（1，2）C．D．

2．已知等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

3．已知，则下列k值中能使△ABC是直角三角形的值是　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．－5

4．在空间中，下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 ①若两直线a、b分别与直线l平行，则a//b

　 ②若直线a与平面β内的一条直线b平行，则a//β

　 ③若直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β

　 ④若平面β内的一条直线a垂直平面γ，则β⊥γ

　　　 A．①②④　　　　　　　 B．①④　　　　　　　　　 C．①③④　　　　　　　 D．①②③④

5．如图正三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面边长与高相等，截面PAC

　 把棱柱分成两部分的体积之比为5∶1,则二面角P—AC—B

　 的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．45°

　　　 C．60°　　　　　　　　　 D．75°

6．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周

　 上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折

　 痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是（　　）

　　　 A．椭圆　　　　　　　　　 B．双曲线

　　　 C．抛物线　　　　　　　 D．圆

7．是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且a₆=b₇，则有　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

8．若，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

9．已知函数是定义在R上的奇函数，当，那么

　 的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．7　　　　　　　　　　　　B．2或7　　　　　　　　　C．7或12　　　　　　　　D．2

10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若

关于x的不等式有解，且解的区间长度不超过5个单位长，则a的取

值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．[－25，1]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

11．已知a、b、c依次是方程的实数根，则a、b、c

的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

12．用1个1，2个2，3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数　　　　　　　　（　　）

　　　 A．20　　　　　　　　　　　B．60　　　　　　　　　　　 C．120　　　　　　　　　　 D．90

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.

13．的展开式中的常数项是　　　　　　　　　　 .

14．设x、y满足约束条件的最大值等于　　　　　　　  .

15．已知双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线所成的锐角等于　　　　　  　 .

16．球面上有A、B、C三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，过A、B、C

的小圆圆心到△ABC的边BC的距离为1，那么球的面积为　　　　　　　　　  .

三、解答题：本大题有6个小题；共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本题12分）函数

　 （1）求的最小正周期和最大值及相应的x值；

　 （2）若将的图象按向量平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的，

得到函数的图象，试写出的解析式.

18．（本题12分）

甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛时采用五局三胜制，

分别求：

　 （1）在前两局中乙队以2∶0领先的条件下，求最后甲、乙各自获胜的概率；

　 （2）求甲队获胜的概率.

19．（本题12分）

设函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

20．（本题12分）

　　　　如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，

，且.

　 （1）求证：平面

　 （2）求异面直线所成的角.

21．（本题12分）

设x、，在直角坐标平面内，

　 （1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

　 （2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标圆点

求直线l的方程.

22．（本题14分）

已知时.求证

　 （1）；

　 （2）

数学试题（理）参考答案

一、选择题：

1—5　D A C B A　 6—10　A B C D D　 11—12　A B

二、填空题：

13．60　　14．5　　15．60°　 16．48π

三、解答题：

17．解：（1）

或…………3分　　…………4分

…………5分　 这时…………6分

　 （2）向左平移

　　　　………………8分

　　　　横坐标缩小到原来的　………………10分

　　　　…………12分　或

18．解：（1）设最后甲胜的事件为A，乙胜的事件为B…………1分

　　　　………………4分

　　　　………………6WV

　　　　答：甲、乙队各自获胜的概率分别为0.216，0.784.

（2）设甲胜乙的事件为C，其比分可能为

 3∶0　　 3∶1　　3∶2　 …………7分

…………12分

答：甲队获胜的概率为0.682.

19．解：………………2分

由题意需使时，  恒成立　………………6分

即 恒成立　 解得………………10分

另当a=－1时， 恒成立　（仅当x=1时“=”成立）

上递减，综上所述…………12分

20．解：（1）平面ABC　

　　　　……2分

　　　　又

　　　　∴平行四边形为菱形　

　　　　∴…………4分

　　　　　 ……6分

（2）延长CA到D，使AD=AC，连结A′D、DB，设AC=a

 　　　 

　　 为异面直线所成的角………………9分

　　 又

　　

　　 所成角为………………12分

21．解：（1）由条件M点到F₁（0，－2），F₂（0，2）距离之和为8

　　　　

　　　　由椭圆定义　 …………4分

（2）过点（0，3）作直线l，当l与x轴垂直时，AB过坐标原点，这与以AB为直径的

圆过坐标原点矛盾　的斜率存在 …………6分

设

由　消y得

…………8分

　恒成立

且

由条件

　

即

 …………10分

解得…………12分

22．证明（1）

　　　　 …………3分

　　　　

　　（2）由（1）

　　

　　

　　………………8分

　　

　　………12分

　　　…………14分