江苏省清江中学2005届高考数学模拟试卷
蔡如森
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
正棱锥、圆锥的侧面积公式
其中ｃ表示底面周长，ｌ表示斜高或母线长球的体积公式
其中Ｒ表示球的半径
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、设全集I={1，3，5，7，9}，A={1，a-5，9}，
={5，7}，则a为（ ）
A、2 B、8 C、-2或8 D、2或8
2、∠A是△ABC的一个内角，
,则∠A的取值范围是
( )
A、
B、
C、
D、
3、由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，是偶数的有（ ）A、120 B、72 C、48 D、96
4、设一个正多面体的面数为F，顶点数为V，若F+V=8，且它的各条棱长都等于1，则这一多面体的高等于 （ ）
A、 
B、
C、
D、
5、以椭圆
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆方程是
（
）
A、
B、
C、
D、
6、我校有50岁以上的老教师40人，35----50岁的中年教师有200人，35岁以下的青年教师80人，为了调查教师们对校教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，问中年教师应抽的人数为 （ ）
A、10 B、20 C、50 D、80
7、
展开式的第四项等于7，则x等于
（ ）
A、-5 B、
C、
D、5
8 、已知函数
。则它的反函数
是减函数的
充要条件是 （ ）
A、1<a<2
B、a>1 C、
0<a<1 D、
9、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,
,则
的值是
( )
A、-2 B、2
C、
D、
10、设函数f（x）在定义域上存在导数，
y=f（x）的图象如右图所示，则导函数
的图象可能是 （ ）
A B C D
11、设函数F(x)=f(x)-f(-x),x∈R,
是函数F(x)的单调递增区间,将F(x)的图象 按
平移得到一个新的函数G(x)的图象,则G(x) 的单调递增区间必定是 ( )
A、
B、
C、
D、
12、假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行。若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是 （ ）
A、（
） B、（
） C、（
） D、（
）
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13、已知函数
的定义域是[2，8]，则函数f（x）的反函数的定义域为
。
14、直线l截圆x2+y2-2y=0所得弦AB的中点是（
），则直线l的方
程为 ；AB= 。
15、若an=1+2+3+……+n，则数列{
}的前n项和Sn=
。
16、经过△OAB的重心G的直线与OA、OB两边分别交于P、Q，设
，
向量，则m+n=
。（写出m、n的关系式）
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
设y=f（x）是定义在R上的任一函数，求证：（1）F（x）=f（x）-f（-x）为奇函数；G（x）=f（x）+f（-x）为偶函数；（2）请你根据(1)以任一定义在R上的函数为例，构造出一个奇函数和一个偶函数。
18、（本小题满分12分）
假如在2008年的奥运会上中国足球队和美国足球队经过加时赛比分仍为0：0，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员每人的点球命中概率均为0.5（相互独立）。
（1）如果不考虑美国足球队，那么中国足球队5名队员中有连续三名队员射中，而另外两名队员未射中的概率是多少？
（2）中国足球队、美国足球队两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多么？
19、（本小题满分12分）
已知向量
，ω>0,记函数f(x)=
,已知f(x)的最小正周期为
.
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f（x）的值域。
20、（本小题满分12分）
如图：直平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=600，E为AB中点，二面角A1-ED-A为600
（I）求证：平面A1ED⊥平面ABB1A1；
（II）求二面角A1-ED-C1的余弦值；
（III）求点C1到平面A1ED的距离。
21、（本小题满分12分）
设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,数列{bn-2}(n∈N*)是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)是否存在k∈N*,使ak-bk∈
?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
22、（本小题满分14分）
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
（λ≥2）。
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程。
参考答案
一、选择题：1-5，DBCAA；6-10，CBCBD；11-12，DC
二、填空题：13、[7，68]；14、x-y+2=0，
；15、
；16、3mn；
三、解答题：
17、（1）证明：设x为R上的任一实数，
则F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=- F（x）
所以：F（x）为奇函数；（3分）
设x为R上的任一实数，则G（-x）=f（-x）+f（x）=G（x）
所以：G（x）为偶函数；（6分）
（2）设定义在R上的函数f（x）为f（x）=2x，（8分）
则可构造出奇函数为：F（x）=2x-2-x；（10分）
偶函数为：G（x）=2x+2-x；（12分）
(只要定义域为R的函数均可)
18、解：(1)中国足球队5名队员中有连续三名队员射中，另两名队员未射中有三种情况，故
.（5分）
(2)中国足球队、美国足球队两队各射完5个球，再次出现平局可能的情况有6种：①均未中球，②均中1球，③均中2球，④均中3球，⑤均中4球，⑥均中5球，（7分）
故所求概率为：
（9分）
（11分）
答：(1)中国足球队5名队员中有连续三名队员射中，另两名队员未射中的概率为
；(2)中国足球队、美国足球队两队各射完5个球，再次出现平局的的概率为
（12分）
19、解：（1）∵
∴f(x)==
=
=
=
（4分）
∴周期T=
=∴ω=2（6分）
（2）由（1）知：
（7分）
∵b2=ac，∴在△ABC中由余弦定理得：
≥
（9分）
又因为余弦函数在[0，π]上是减函数，∴
（10分）
且
（10分）∴
∴
（11分）
即：函数f（x）的值域为[
]。（12分）
20、（I） 证明：连结BD，在菱形ABCD中，∠BAD=600，∴△ABD为正三角形，∵E为AB的中点，∴ED⊥AB （1分）
在直六面体ABCD-A1B1C1D1中：平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB，∵ED
面ABCD∴ED⊥面ABB1A1 （2分）∴平面A1ED⊥平面ABB1A1
（3分）
（II）解： 由（I）知：ED⊥面ABB1A1 ∵A1E面ABB1A1 ∴A1E⊥ED
又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AA1⊥面ABCD，由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，∴∠A1EA=600
（4分）取BB1的中点F，连EF、AB1，则EF
，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AB1DC1∴EF
∴E、F、C1、D四点共面（5分）∵ED⊥面ABB1A1且EF面ABB1A1∴EF⊥ED∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角（6分）
在Rt△EBF中：
，
在Rt△A1AE中：
，
在Rt△A1B1F中：
（7分）
∴在Rt△A1EF中：
∴二面角A1-ED-C1的余弦值为
（8分）
（III）过F作FG⊥A1E交A1E于G点∵平面A1ED⊥面ABB1A1
且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E∴FG⊥平面A1ED，即：FG是点F到平面A1ED的距离（10分）在Rt△EGF中：
∴
∴
（11分）
∵EF
且E、D∈面A1ED∴点C1到平面A1ED的距离为
（12分）
21、解：（1）由已知：a2-a1=-2，a3-a2=-1，∴（a3-a2）-（a2-a1）=1
∴an+1-an=（a2-a1）+（n-1）·1=-2+ n-1=n-3
∴当n≥2时，an= （an- an-1）+（an-1- an-2）+……+（a3- a2）+（a2- a1）+a1
=（n-4）+（n-5）+……+（-1）+（-2）+6=
当n=1时也适合∴
（n∈N*）（3分）
又b1-2=4，b2-2=2，且
∴bn-2=（b1-2）·
即：bn=2+8
∴数列{an}、{bn}的通项公式分别为:
，
bn=2+8（n∈N*）（6分）
（2）设f（k）=ak-bk=
（8分）
当k≥4时，
为k的增函数，
也为k的增函数，
∴当k≥4时f（k）=ak-bk≥f（4）=（10分）
又f（1）=f（2）=f（3）=0∴不存在k，使f（k）∈（12分）
22设椭圆方程为：
（a＞b＞ 0），由
及a2=b2+c2得a2=3b2，故椭圆方程为x2+3y2=3b2①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
并且（λ≥2）
∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），即
②把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:（3k2+1）x2+6k2x+3k2-3b2=0,且△=k2（3b2-1）+b2>0,
∴
③
④
∴
联立②、③得：
∴
（6分）
（2）
当且仅当
即
时，S△OAB取得最大值。此时
，又∵x1+1=-λ（x2+1），
∴
，代入④得：
故此时椭圆的方程为
（10分）
（3）由②、③联立得：
将x1、x2代入④得：
由k2=λ-1
得：
易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，故当λ=2时，(3b2)max=3.故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3。（14分）