导数部分

1、(广东卷)函数是减函数的区间为(D)

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

2.（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（B）

（A）2　　　　　　　　　　　　（B）3　　　　　　　　　　　　（C）4　　　　　　　　　　　　（D）5

3. （湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　D  ）

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．1　　　　　　　　　　　　D．0

4．(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(C ）

5.(浙江)函数y＝ax²＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B　 )

(A) 　　(B)　　 (C) 　　 (D)1

6. (重庆卷)曲线y=x³在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____。

7.（江苏卷）（14）曲线在点（1,3）处的切线方程是

8. ( 全国卷III)曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0

9. （北京卷）过原点作曲线y＝e^x的切线，则切点的坐标为 (1, e)；　　，切线的斜率为e　　．

10.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数　　　　　　　 

(Ⅰ)求的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.

解：(I)=3－2－1

若=0，则==－，=1

当变化时，，变化情况如下表：

	(－∞，－)	－	(－，1)	1	(1，+∞)
	+	0	－	0	+
		极大值		极小值

∴的极大值是，极小值是

(II)函数

由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点

结合的单调性可知：

当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。

∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。

11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （  -2ax ）

(1)　当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

解：（I）对函数求导数得

令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0

 解得

当 变化时，、的变化如下表

	+	0	－	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数

而当时=，当x=0时，

所以当时，取得最小值

（II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是

　 即，解得

于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是

即的取值范围是

12. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分

则V=（90-2x）（48-2x）x,(0<V<24)5分

　 =4x³-276x²+4320x

∵V′=12 x²-552x+4320……7分

由V′=12 x²-552x+4320=0得x₁=10，x₂=36

∵x<10 时，V′>0,

10<x<36时，V′<0,

x>36时，V′>0,

所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分

又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分

所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分

13. ( 全国卷III)已知函数，

（Ⅰ）求的单调区间和值域；

（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围

解：对函数求导，得

　　　　　　　　

令解得 或

当变化时，、的变化情况如下表：

x	0
			0

所以，当时，是减函数；当时，是增函数；

　　　　　 当时，的值域为

（Ⅱ）对函数求导，得

　　　　

因此，当时，

因此当时，为减函数，从而当时有

　　　　 

又，，即当时有

任给，，存在使得，则

即

解式得 或

解式得

又，

故：的取值范围为

14. （北京卷）已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

　  解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

　　 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

　  （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

　　 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．　　

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

　  即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

15．（福建卷）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.

　 （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得  当

当

故内是增函数，在内是减函数，

在内是增函数.

16．（福建卷）已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

　　解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知

　　　　

17. （湖北卷） 已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

解法1：依定义

开口向上的抛物线，故要使在区间

（－1，1）上恒成立

.

解法2：依定义

的图象是开口向下的抛物线，

18．（湖南卷）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，

　 　即.因为所以.

　　　

　　　 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将代入上式得　因此故，，

（II）解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以

又当时，函数在（－1，3）上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

　　　 因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）

上的抛物线，

　　　 所以　即解得

　　　 所以的取值范围为

19.（湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx，a≠0.

　 （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

　 （Ⅱ）设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

解：（I），

则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

　则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

　综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.

　 （II）证法一　设点P、Q的坐标分别是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.

　　　　 则点M、N的横坐标为

　　　　 C₁在点M处的切线斜率为

　　　　 C₂在点N处的切线斜率为

　　　　 假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

　　　　 即，则

　　　　　　　　 =

　　　 所以　设则①

　　　 令则

　　　 因为时，，所以在）上单调递增. 故

　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

　　　 因为，所以

　　　 令，得　②

　　　 令

　　　 因为，所以时，

　　　 故在[1，+上单调递增.从而，即

　　　 于是在[1，+上单调递增.

　　　 故即这与②矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

20．（辽宁卷）函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数

　 （Ⅰ）用、、表示m；

　 （Ⅱ）证明：当；

　 （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

　　　　 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

解：（Ⅰ）…………………………………………2分

　 （Ⅱ）证明：令

　　　　因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………6分

　 （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　　对任意成立的充要条件是

　　　　

　　　 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

　　　 于是的充要条件是…………………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

　　　 有解、解不等式②得　　　　　　　　　　　　  ③

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　………………………………………………………………8分

　　　 令，于是对任意成立的充要条件是

　　　  由

　　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　②

　　　 有解、解不等式②得

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

21. （山东卷）已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；

（II）求的单调区间；

（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以

（II）由（I）知，=

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

				1
		0		0
	调调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.

（III）由已知得，即

又所以即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以解之得又所以

即的取值范围为

22.(重庆卷)设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8，其中aÎR。

　　(1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；

(2) 若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。

解：（Ⅰ）

因取得极值，　所以　解得

经检验知当为极值点.

（Ⅱ）令

当和上为增函数，故当上为增函数.

当上为增函数，从而上也为增函数.

综上所述，当上为增函数.

23. (重庆卷)已知aÎR，讨论函数f(x)=e^x(x²+ax+a+1)的极值点的个数。

19．（本小题13分）

　　　 解：

令=0得

（1）当

即<0或>4时有两个不同的实根，，不妨设<

于是，从而有下表

x		x1
	+	0	－	0	+
	↑	为极大值	↓	为极小值	↑

即此时有两个极值点.

（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根

于是

故当<时>0，当>时>0，因此无极值

（3）当△<0即0<<4时

，故为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.

24.（江苏卷）已知函数

（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；

（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.

解：（1）当a=2时,，则方程f(x)=x即为

解方程得：

（2）（I）当a>0时,，

作出其草图见右, 易知有两个极值点借助于图像可知

当时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时

当时,显然此时函数的最小值为

当时，，此时在区间为增函数，在区间上为减函数，∴，又可得

∴

则当时，，此时

当时，，此时

当时，,此时在区间为增函数，故

(II)当时，，此时在区间也为增函数，故

（III）当时，其草图见右

显然函数在区间为增函数，故