2006年高考理科数学摸拟试题解析样本5

本试卷分第Ⅰ卷(选择题　共60分)和第Ⅱ卷(非选择题  共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.

第Ⅰ卷　(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.集合A={xx=2k,k∈Z},B={xx=2k+1,k∈Z},C={xx=4k+1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有

A.a+b∈A

B.a+b∈B

C.a+b∈C

D.a+b不属于A，B，C中的任意一个

2.已知f(x)=sin(x+,g(x)=cos(x－),则f(x)的图象

A.与g(x)的图象相同

B.与g(x)的图象关于y轴对称

C.向左平移个单位，得到g(x)的图象

D.向右平移个单位，得到g(x)的图象

3.过原点的直线与圆x²+y²+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

A.y=x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.y=－x

C.y=x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=－x

4.函数y=1－, 则下列说法正确的是

A.y在(－1,+∞)内单调递增　　　　　　　　　　　　　　 B.y在(－1,+∞)内单调递减

C.y在(1,+∞)内单调递增　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y在(1,+∞)内单调递减

5.已知直线m,n和平面，那么m∥n的一个必要但非充分条件是

A.m∥,n∥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.m⊥,n⊥

C.m∥且n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.m,n与成等角

6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则

A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是

B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此

C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此

D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同

7.曲线y=x³在点P处的切线斜率为k，当k=3时的P点坐标为

A.(－2,－8)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－1,－1),(1,1)

C.(2,8)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.(－,－)

8.已知y=log_a(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是

A.(0，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(1，2)

C.(0，2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.［2，+∞

9.已知lg3,lg(sinx－),lg(1－y)顺次成等差数列，则

A.y有最小值，无最大值　　　　　　　　　　　　　　B.y有最大值1，无最小值

C.y有最小值，最大值1　　　　　　　　　　　　　　 D.y有最小值－1，最大值1

10.若=a，=b，则∠AOB平分线上的向量为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.()，由决定

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

11.一对共轭双曲线的离心率分别是e₁和e₂,则e₁+e₂的最小值为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2

C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.4

12.式子的值为

A.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.1

C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.3

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

13.从A={a₁,a₂,a₃,a₄}到B={b₁,b₂,b₃,b₄}的一一映射中，限定a₁的象不能是b₁，且b₄的原象不能是a₄的映射有___________个.

14.椭圆5x²－ky²=5的一个焦点是(0，2)，那么k=___________.

15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为___________.

16.已知a_n是(1+x)ⁿ的展开式中x²的系数，则=___________.

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=，记数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=f(1),当n≥2时，S_n－(n²+5n－2).

(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄;

(2)求出数列{a_n}的通项公式，并给予证明.

18.(本小题满分12分)

已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC=.

(1)判断△ABC的形状；

(2)设三边a,b,c成等差数列且S_△ABC=6 cm²，求△ABC三边的长.

19.(本小题满分12分)

如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.

(1)试求y关于h的函数解析式；

(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；

(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.

20.(本小题满分12分)

某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.

(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；

(2)如果已知所需的经费p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

21.(本小题满分12分)

已知f(x)=log_a(x+1)，点P是函数y=f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象，当a＞1,x∈［0,1时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立.

(1)求出g(x)的表达式；

(2)求m的取值范围.

22.(本小题满分14分)

直线l:ax－y－1=0与曲线C：x²－2y²=1交于P、Q两点，

(1)当实数a为何值时，PQ=2?

(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.解析：由已知得a是偶数，b是奇数，则a+b是奇数，又b∈B，BC，∴a+b∈B,选B.

答案：B

2.解析：f(x)的图象向右平移个单位，得sin［(x－)+］=sinx，又g(x)=cos(x－=cos(－x)=sinx,故选D.

答案：D

3.解析：设直线为y=kx.

由消去y，得

(1+k²)x²+4x+3=0,

由Δ=16－4×3(1+k²)=0,k=±.

又知切点在第三象限，∴k=，选C.

答案：C

4.解析：令x－1=X,y－1=Y,则Y=－.

X∈(0,+∞)是单调增函数，由X=x－1,得x∈(1,+∞)，y=1－为单调增函数,故选C.

答案：C

5.解析：若m∥n,则m,n与平面成相等的角，反之 ，若m,n与平面成等角，不一定有m∥n,故选D.

答案：D

6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是，故选A.

答案：A

7.解析：由y=x³，得y′=3x².由已知得3x²=3，x=±1.

当x=1时，y=1,当x=－1时，y=－1，

故P点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B.

答案：B

8.解析：由已知log_a(2－a·0)＞log_a(2－a)，即log_a2＞log_a(2－a)，

当0＜a＜1时，有无解，

当a＞1时，有，得1＜a＜2,选B.

答案：B

9.解析：由已知得2lg(sinx－)=lg3+lg(1－y)，且,

得(sinx－)²=3(1－y)

得y=1－,

当sinx=1时，y_min=，无最大值，选A.

答案：A

10.答案：B

11.解析：设双曲线=1的离心率e₁=，

则共轭双曲线=1的离心率e₂=.

e₁+e₂=

≥2·　(a=b时取等号)

=2·≥2·　(a=b时取等号).

∴e₁+e₂的最小值为2，选C.

答案：C

12.解析：原式=

==2,选C.

答案：C

二、填空题(每小题4分，共16分)

13.解析：A－2A+A=14.

答案：14

14.解析：由已知得x²+=1,k＜0,

由焦点坐标(0，2)知长轴在y轴上，

得(－)－1=4,得k=－1.

答案：－1

15.解析：由题意得S=,－1＜q＜0.

由q=得－1＜＜0,解不等式得1＜S＜2.

答案：1＜S＜2

16.解析：由已知得x²的系数为C，即a_n=C=,

∴a₂=1,=1=,,…,,

∴

=.

答案：2

三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分)

17.解：(1)由已知，当n≥2时，f(a_n)=,

∵S_n－，

∴S_n－(n²+5n－2),

即S_n+a_n=(n²+5n+2).

又a₁=f(1)=2,

由S₂+a₂=a₁+2a₂=(2²+5×2+2),

得a₂=3;

由S₃+a₃=a₁+a₂+2a₃=(3²+5×3+2),

解得a₃=4;

由S₄+a₄=a₁+a₂+a₃+2a₄=(4²+5×4+2),解得a₄=5.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)则a₁=2,a₂=3,a₃=4,a₄=5,于是猜想：a_n=n+1(n∈N).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

以下用数学归纳法证明：

(a)当n=1时命题成立.

(b)设n=k时，a_k=k+1(k∈N).

由S_k+1+a_k+1=［(k+1)²+5(k+1)+2］,

a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=(k²+7k+8),

2a_k+1=(k²+7k+8)－(2+3+…+k+1)

=(k²+7k+8)－

=(k²+7k+8－k²－3k)

=2k+4.

a_k+1=(k+1)+1,

即当n=k+1时命题也成立.

故由(a)、(b)知对一切n∈N均有a_n=n+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18.(1)解法一：sinC=

=tan=.

∵sinC≠0,∴cosC=0,0°＜C＜180°,

∴C=90°,∴△ABC为直角三角形.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

解法二：∵cosA+cosB=,

∴.

化简整理得：(a+b)(c²－a²－b²)=0,∴a²+b²=c²,

∴△ABC为直角三角形.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)解：由已知得：a²+b²=c²,a+c=2b,ab=6,

解得：a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

19.解：(1)显然h＞1，连接AQ，

∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,

∴AQ⊥DQ,AQ=y²－h².

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ=,

∴,即.

∴y=(h＞1).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)y==

=+≥2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

当且仅当,即h=时，等号成立.

此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,

则(S_△PAD+S_△PAQ+S_△PDQ+S_△ADQ)·r=V_P－ADQ .

∵V_P－ADQ=S_△ADQ·PA=,S_△PAQ=1,

S_△PAD=,S_△QAD=1,S_△PDQ=,

∴r=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20.解：(1)由题意得：v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

∴3≤x≤10,≤y≤.①

由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②

因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.　　　　　　　　　　　　　　 12分

21.解：(1)设Q(x,y)P(－x,－y),代入f(x)方程得，g(x)=－log_a(－x+1).　　　　　　　　　 4分

(2)2f(x)+g(x)≥m恒成立

2log_a(x+1)－log_a(1－x)≥m恒成立

log_a≥m恒成立,即m小于等于log_a的最小值.

令h(x)=

=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

易证h(x)在x∈［0,1)上单调递增，

∴h(x)_min=h(0)=1,

又∵a＞1,∴log_a≥log_a1=0,

即log_a的最小值为0，

∴m的取值范围是m≤0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

22.解：(1)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),,

∴(1－2a²)x²+4ax－3=0.

若1－2a²=0,即a=±时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，

∴1－2a²≠0,Δ=(4a)²－4(1－2a²)(－3)＞0,

∴－＜a＜.

　(*)

∴｜PQ｜=｜x₁－x₂｜=2.

∴(x₁－x₂)²=4,∴(x₁+x₂)²－4x₁x₂=4.

∴(－)²－4=4.

∴a=±1∈(－,).

∴所求的实数a的值为a=±1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y₁·y₂=－x₁·x₂.

∴(ax₁－1)·(ax₂－1)=－x₁·x₂,

∴(1+a²)x₁·x₂－a(x₁+x₂)+1=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

把(*)式代入得：a²=－2与a为实数矛盾，

∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分