江西省重点中学协作体2006届高考第一次联考

数学试卷(理科)

命题人: 九江一中　江民杰　 审题人: 九江一中　段训明　 2006. 2. 9

一、选择题(12×5分＝60分)

1.　　　 复数Z=的共轭复数是(　 )

A. －i　　 B. －+i　 C. +i　 D. －－i

2.　　　 (4x－2x－5)(1－)的展开式中, 常数项为(　　)　

A. 21　　　　B. －5　　　 C. －16　　　 D. －21

3.　　　 设集合A=[－, ], B=[－1, 1], f: xsinx是从集合A到集合B的映射, 则在映射f作用下, 像的原像有(　　)　

 A. 1个　　　 B. 2个　　　　C. 3个　　　 D. 4个

4.　　　 在首项为81, 公差为－7的等差数列{a}中, 值最接近零的项是(　　)　

A. 第11项　　　 B. 第12项　　　C. 第13项　　 D. 第14项

5.　　　 圆x+y－4x－2y+c=0与y轴交于A、B两点, 圆心为P, 若APB=90, 则c的值为(　　)　

A. －8　　　　　 B. 8　　　　  C. －3　　　　 D. 3

6.　　　 已知f(x)=lg(a－b), 当a>1>b>0时, f(x)在(1, +)的值恒大于零, 则a、b应满足的充要条件是(　　)

 A. a－b≥1　　  B. a－b>1　　 C. a－b=1　　  D. 0<a－b<1

7.　　　 设m、n是两条不重合的直线, 、是两个不重合的平面, 则下列四个命题:

(1)　　若mn, m, n, , 则n∥　(2) 若m∥, , 则m　

(3) 若m, , 则m∥和m　(4) 若mn, m, n, 则. 其中正确的命题是(　 )　

 A. 仅(1)　　　 B. (2), (3)　　　 C. (2), (4)　　  D. (1), (3), (4)

8.　　　 已知(1+)=e(e为常数), 则(1+)等于(　　)

 A. 1　　　　B. e　　　 C. 　　　 D. e

9.　　　 函数f(x)=, 若a>b>c>0, 则, , 的大小关系是(　　)　

A. <<　　　　　 B. >>　　

C. >>　　　　　 D. >>

10.　 已知非零向量、不共线, 令p=－, g=－t(tR且t1), 若(－)·=0, 则(　　)　

A. p<g　　　  B. p=g　　　 C. p>g　　　 D. 不能确定

11.　 曲线y=x过点(, 0)的切线的方程是(　 )

A. y=0　　　B. 3x－y－2=0　　 C. y=0或3x－y－2=0　　 D. x=0和3x－y－2=0

12.　 在100, 101, 102, …, 999这些数中, 各位数字按严格递增或严格递减顺序排列的数共有(　 )　

A. 216个　　　B. 204个　　　C. 168个　　　D. 120个

二、填空题(4×4分=16分)

13.　 已知实数x、y满足, 则集合A={(x, y) x+y≤r, r>0}表示的图形面积的最大值是______________

14.　 若不等式x－1<a+a+1成立的充分条件是0<x<4, 则实数a的取值范围是______________

15.　 数列{a}中, 从第二项起每一项与前一项的差成等比数列, 则称该数列为差等比数列. 现已知a=1, 若差数列公比为1, 差数列首项为2, 则a=_____________

16.　 设=(cosx－sinx, 2sinx), =(cosx+sinx, cosx), f(x)=·, 给出下列四个命题:

(1) 函数在区间[,]上是减函数;　

(2) 直线x=是函数图象的一条对称轴;　

(3) 函数f(x)的图像可由函数y=sin2x的图像按=(－, 0)平移而得到;

(4) y=f(x)的最小正周期是.　

其中正确的命题序号是_________________

三、解答题

17.　 (本小题12分)

△ABC中, AB=3, AC=4, BAC=60.　

(1)　　求cosABC;

(2)　　cos(ABC+x)=－(－<x<0), 求cosx.

18.　 (本小题12分)

如图, A、B两点由5条连线并联, 它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2, 3, 4, 3, 2, 现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.

(1)　　求的分布列及数学期望;

(2)　　把≥10的并联网称为信息畅通, 把=8或9的并联网称为信息基本畅通, 试分别求信息畅通、信息基本畅通的概率.

19.　 (本小题12分)

如图, 已知多面体ABCDE中, AB平面ACD, DE平面ACD,　AC=AD=CD=DE=2a, AB=a, F为CD的中点.　

(1)　　求证: AF平面CDE;

(2)　　求异面直线AC、BE所成角余弦值的大小;

(3)　　求平面BCE和平面ACD所成锐二面角的大小.

20.　 (本小题12分)

设f(x)=ln(x+m), x[2－m, +, x=是方程f(x)=x的一根.

(1)　　求f(x)－2x的最大值;

(2)　　定理: 设f(x)定义域为I, 对任意[a, b]I, 存在x[a, b], 使等式f(b)－f(a)=(b－a) · f(x).  求证: 方程f(x)=x有唯一解x=.

21.　 (本小题12分)

已知F(－1, 0), F(1, 0), 点P满足+=4.

(1)　　写出点P的轨迹C的方程;

(2)　　曲线C上点M满足: MF=d+1, d表示M点到曲线C的左准线的距离, 过点F的直线l 交曲线C于A、B两点, 且△ABF被x轴分成的两个三角形面积比=(≤≤3), 求直线l 的倾斜角的取值范围.

22.　 (本小题14分)

正项数列{a}满足a=1, n·a+(n－1) ·a·a－a=0(n≥2)

(1)　　求a, a, a及a;　

(2)　　试确定一个正整数N,　使当n>N时,

不等式a+a+2a+3a+…+(n－1) ·a>成立;

(3)　　求证: (1+)<1+a+a+ … +a.

参考答案

一、选择题(12×5分＝60分)　ADBCC　 ADCAA　 CB

二、填空题(4×4分=16分)　

13.　2;  14. －2≤a≤－1或0≤a≤1;　15. a=2n+1(nN*)　16. (1), (2)

三、解答题(共6小题, 总分76分)

　17. (1)BC== …………2分　cosB==>0　　　　　　　　   …………………5分　

(2) ∵cosB>0, ∴B为锐角, sinB=　　　　　　　　　　　　　  ………7分　

∵－<B+x<, cos(B+x)=－ < 0　

∴－<B+x<, ∴sin(B+x)=－　　　　　　　　　　　　　 ………9分　

∴cosx=cos[(B+x)－B]= … =－　　　　　　　　　　　  ………12分

18. (1) P(=7)==,　　　　　  P(=8)= =,　

P(=9)==,　P(=10)==　　　　　　　　  …………7分　

E=8.4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分　

(2)　　  信息畅通的概率P=P(=10) =　　　　　　　　　　　　　  …………10分　

信息基本畅通的概率P=P(=8或=9)=　　　　　　　　　　 ………12分

19.　(1) ∵DE平面ACD, ∴DEAF　

又∵AC=AD=CD, F为CD的中点　

∴AFCD　∴AF平面CDE　　　　　 　　　　　　　　　　　 ………4分　

(2) 取DE的中点G, 连AG、CG,

则CAG或其补角就是异面直线AC、BE所成角　　　　　　　 …………6分

由题设可以求出: CG=AG =a, AC=2a

∵cosCAG==　

∴异面直线AC、BE所成角的余弦值为　　　　　　　　　　  ………8分　

(3)　　  延长DA、EB交于H点, 连CH,　则CH∥AF,

又由AF平面DCE, 故HC平面DCE,

从而DCE就是平面BCE和平面ACD所成锐二面角　　　　　　 ………10分

由平面几何知: △CDE为等腰直角三角形

∴DCE=45　

∴平面BCE和平面ACD所成锐二面角为45　　　　　　　　  …………12分.

注: 采用向量法求解答题各小问的得分给出相应分数.

20. (1) 令g(x)=f(x)－2x=ln(x+m)－2x, 则g(x)=－2　　　　　　　　  ………2分　

∵x≥2－m　∴x+m≥2 ∴≤　

从而g(x)=－2≤－2<0　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分　

∴g(x)在[2－m, +上单调递减　

∴x=2－m时,

g(x)=f(x)－2x最大值=ln(2－m+m)－2(2－m)=ln2+2m－4　　　　  …………6分　

(2) 假设f(x)=x还有另一解x=()　由假设知

－=f()－f()=f(x)·(－)　x[2－m, +　　　 ……………8分　

故f(x)=1, 又∵f(x)=≤<1 矛盾　　　　　　　　　  …………11分　

故f(x)=x有唯一解x=　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ………12分

21. (1)　P的轨迹椭圆C: +=1　　　　　　　　　　　　　　　 ……………4分　

(2) 椭圆C的左准线方程为x=－8,　　F(－1, 0),

由MF=d+1知曲线C是以F(－1, 0)为焦点, x=－9为准线的抛物线　

故C的方程为: y=16(x+5)　　　　　　　　　　　　　　　　  …………… 6分　　

设l : x=ay－1, A(x, y), B(x, y),

由消去x得y－16ay－64=0,

== 即=　 于是:

y=－y　　 ①

又y+y=16a　②

y·y=－64　　③,

由①②③消去y, y得: a=(+－2), (≤≤3)　　　　　　  ………9分　

当≤≤1时, a[0, ],

当1≤≤3时, a[0, ],

∴a[0, ]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……………10分

从而当a=0时, 倾斜角为,

当a0时, k=≥3故k≥或k≤－, 倾斜角[, (, , 故倾斜角范围为: [,]　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………12分

22.　 (1) n·a+(n－1) ·a·a－a=0(n·－1)(+1)=0,

又∵a>0, a>0, 故=, a=1　　　　　　　　　　　　　  …………2分　

a==, a=, a=, …, a=　　　　　　　　　　　　　 ………4分

(2) 由(k－1)a==－(k≥2),

a+a+2a+3a+…+(n－1) ·a

=1+(－)+(－)+ … +(－)=2－　　　　　　 …… 6分

从而有2－>,

∴<, 即n！>121,

　∵5！=120, 6！=720,

∴n>5取N=5, n>N时, 原不等式成立.　…………8分

(3)　(1+)展开式通项:

T=C·()

=··· … ··<(r=0, 1, 2, 3, …, n)…………12分　(1+)<++++ … +=1+a+a+ … +a　　　　　　  ……14分